Une inégalité à démontrer

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Montrer que, pour tout réel $x>0$, on a $\sqrt{x}+\dfrac1{\sqrt{x}}\geqslant2$


Correction

Correction

On pose la fonction $f$, définie sur $I=]0;+\infty[$ par l'expression $f(x)=\sqrt{x}+\dfrac1{\sqrt{x}}$.
L'ingéalité à montrer revient alors à montrer que 2 est le minimum de $f$ (ou que ce minimum est plus grand que 2). Pour trouver le minimum, on étudie les variations de cette fonction.

Cette fonction est dérivable sur $I$ et $f=u+\dfrac1u$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ donc $u'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$, et alors $f'=u'-\dfrac{u'}{u^2}$, soit
\[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac1{2\sqrt{x}}-\dfrac{\dfrac1{2\sqrt{x}}}{\lp\sqrt{x}\rp^2}\\ &=\dfrac1{2\sqrt{x}}-\dfrac1{2x\sqrt{x}}\\ &=\dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}} \enar\]

On peut alors dresser le tableau de signe de cette dérivée puis le tableau de variation de notre fonction $f$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & 0 && 1 && $+\infty$ \\\hline $x-1$ && $-$ &0&$+$& \\\hline $2x\sqrt{x}$&&$+$ & $|$ &$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &0&$+$& \\\hline &&&&&\\ $f$&\psline(0,-.7)(0,2.5)\,\psline(0,-.7)(0,2.5)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&2&&\\\hline \end{tabular}\]

On trouve bien que le minimum de cette fonction est atteint en 2 est vaut $f(2)=\sqrt1+\dfrac1{\sqrt1}=2$ ou encore, en d'autres termes, que pour tout $x>0$, on a
\[f(x)=\sqrt{x}+\dfrac1{\sqrt{x}}\geqslant2\]



Tag:Fonctions et dérivées

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