Tangente commune à deux courbes

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=x^3-3x^2-5x+4$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
  1. Etudier la fonction $f$, et tracer la courbe $\mathcal{C}$.
  2. Soit $g$ la fonction définie par l'expression $\displaystyle g(x)=\frac{4-x}{x+1}$. On note $\mathcal{H}$ sa courbe représentative dans le même repère.
     
    Etudier la fonction $g$ et tracer $\mathcal{H}$.
     
  3. Vérifier que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$ passent par le même point $A(0;4)$. Déterminer alors les coordonnées de tous les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$.
     
  4. Démontrer que les deux courbes ont une tangente commune en $A$.



Correction

Correction

  1. La fonction $f$ est une fonction polynôme du troisième degré, et est donc définie et dérivable sur $\R$, avec, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=3x^2-6x-5$. Le discriminant de $f'$ est $\Delta=36+60=96>0$, et donc $f'$ admet deux racines:
    $x_1=\dfrac{6-\sqrt{96}}{6}=\dfrac{6-4\sqrt{6}}{6}=\dfrac{3-2\sqrt{6}}{3}\simeq-0,63$ et $x_2=\dfrac{3+2\sqrt{6}}{3}\simeq 2,63$.
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $x_1$ && $x_2$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline &&&$\simeq5,70$&&&&\\ $f$ && \Large{$\nearrow$} && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$} & \\ &&&&&$\simeq -11,71$&&\\\hline \end{tabular}\]


  2. La fonction $g$ est le quotient des fonctions $u:x\mapsto 4-x$ et $v:x\mapsto x+1$ qui sont dérivables sur $\R$, avec $v(x)=0\iff x=-1$. $g$ est donc définie et dérivable sur $\R\setminus\{-1\}$, et, pour tout $x\in\R\setminus\{-1\}$, $\displaystyle g'(x)=\frac{-5}{(x+1)^2}<0$: $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1[$ et sur $]-1;+\infty[$.


    \[\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture}(-6,-20)(5,20) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3,0)(4.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-20)(0,20) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \psplot[linewidth=1pt]{-2.3}{4.5}{ x x mul x mul -3 x mul x mul add -5 x mul add 4 add } \psline{<->}(-2,5.70)(0.5,5.70) \psline{<->}(1,-11.71)(4,-11.71) \rput(4.8,12){$\mathcal{C}$} \psplot[linewidth=1pt]{-3}{-1.25}{ 4 x sub x 1 add div } \psplot[linewidth=1pt]{-0.75}{4}{ 4 x sub x 1 add div } \psline[linewidth=0.5pt](-1,-20)(-1,20) \rput(-3,-2){$\mathcal{H}$} \rput(-.5,18){$\mathcal{H}$} \end{pspicture}\]


  3. On a $f(0)=g(0)=4$, et donc le point $A(0;4)$ est un point de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{H}$.
    Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$ ont pour abscisse $x\not=-1$ tel que $f(x)=g(x)=$, soit $\displaystyle x^3-3x^2-5x+4=\frac{4-x}{x+1}$,
    soit aussi $x^4-2x^3-8x^2-x+4=4-x$,
    soit donc, $x^4-2x^3-8x^2=x^2(x^2-2x-8)=x^2(x+2)(x-4)=0$, d'où $x=0$ ou $x=-2$ ou $x=4$. Les points d'intersection sont donc $A(0;4)$, $B(-2;-6)$ et $C(4;0)$.
  4. La tangente à $\mathcal{C}$ en $A(0;4)$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)=-5x+4$.
    La tangente à $\mathcal{H}$ en $A(0;4)$ a pour équation $y=g'(0)(x-0)+g(0)=-5x+4$.

    Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$ ont donc la droite d'équation $y=-5x+4$ comme tangente commune en $A$.

    On dit que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$ sont tangentes en $A$.


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