Vrai ou faux

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Vrai ou Faux ?
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier. (On pourra par exemple, dans certains cas, donner un exemple ou un contre exemple).
  1. Il existe des fonctions dérivables et monotones sur $\R$ qui n'ont pas de maximum sur $\R$.
  2. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et positive sur $I$.
    Alors, les fonctions $f$ et $f^2=f\times f$ ont le même sens de variation sur $I$.
  3. Soit $f$ une fonction définie sur $[a;b]$. Si l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique, alors $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$.
  4. La fonction $f$ définie par $f(x)=ax^3+bx^2-ax+c$, $a\not= 0$, n'admet aucun extremum.



Correction

Correction

Vrai ou Faux ?
  1. Vrai. Par exemple la fonction $f:x\mapsto x$ (ou même plus généralement toute fonction affine), est dérivable sur $\R$, strictement croissante, et n'admet pas de maximum.
  2. Vrai. Comme $f$ est dérivable sur $I$, $f^2=f\times f$ l'est aussi, et, pour tout $x\in I$,
    $(f^2(x))'=2f'(x)\times f(x)$.
    Comme $f$ est positive sur $I$, c'est-à-dire pour tout $x\in I$, $f(x)\geq 0$, la dérivée de $f^2$ et $f'$ ont le même signe, ce qui montre que $f^2$ et $f$ ont le même sens de variation.
  3. Faux. La propriété ``$f(x)=0$'' indique géométriquement que la courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses une unique fois, et c'est tout! en particulier cette propriété ne donne aucune information sur le comportement de la courbe de part et d'autre de cette intersection.

    Par exemple, la fonction $f:x\mapsto x^2-16$ définie sur $[-10;3]$, vérifie cette propriété, la seule racine étant $x=-4$ dans cet intervalle, et est pourtant décroissante sur $[-10;-4]$ et croissante sur $[-4;3]$.
  4. Faux. La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\R$, avec, pour tout $x$ réel: $f'(x)=3ax^2+2bx-a$.
    Le discriminant de ce trinôme est $\Delta=4b^2+12a^2$.
    $\Delta$ est une somme de nombres positifs et donc $\Delta\geqslant0$.
    De plus, comme $a\not=0$, on a $a^2>0$ et donc aussi $\Delta>0$. Ainsi, ce trinôme $f'(x)$ change de signe sur $\R$, et donc la fonction $f$ change de sens de variation deux fois sur $\R$. Elle admet donc deux extrema, un maximum et un minimum.


Tag:Fonctions et dérivées

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