Tangente à une hyperbole

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Tangente à une hyperbole

Soit $ f$ la fonction inverse: $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $ \mathcal{H}$ sa courbe représentative.

  1. Déterminer les coordonnées du point $ A$ de $ \mathcal{H}$ d'abscisse $ \dfrac{2}{3}$ , puis une équation de la tangente $ T$ à $ \mathcal{H}$ en ce point.

  2. Déterminer les coordonnées des points $ B$ et $ C$ intersections de $ T$ avec les axes de coordonnées.


    Vérifier que $ A$ est le milieu de $ [BC]$ .

  3. Généralisation: reprendre les questions précédentes avec le point $ A$ d'abscisse $ a$ .

  4. Question bonus: en déduire une méthode géométrique de la construction des tangentes à $ \mathcal{H}$ .



Correction

Correction

  1. Les coordonnées de $ A$ sont $ x_A=\dfrac{2}{3}$ et $ y_A=f(x_A)=\dfrac{1}{x_A}=\dfrac{3}{2}$ .

  2. On a $ f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ . L'équation de $ T$ , tangente à $ \mathcal{H}$ en $ A$ , est: $ y=f'\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+f\left(\dfrac{2}{3}\right)$ .

    Comme $ f'\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{-1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} =-\dfrac{9}{4}$ , et, $ f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{3}{2}$ , l'équation s'écrit: $ y=-\dfrac{9}{4}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{3}{2}$ , soit $ y=-\dfrac{9}{4}x+3$ .

  3. $ T$ coupe l'axe des abscisses en $ B\left(x_B;y_B\right)$ avec $ y_B=0$ , d'où $ 0=-\dfrac{9}{4}x_B+3\iff x_B=\dfrac{4}{3}$ , et ainsi, $ B\left(\dfrac{4}{3};0\right)$ .

    De même, $ T$ coupe l'axe des ordonnées en $ C\left(x_C;y_C\right)$ avec $ x_C=0$ , d'où $ y_C=-\dfrac{9}{4}\times 0+3\iff y_C=3$ , et ainsi, $ C\left(0;3\right)$ .


    Les coordonnées du milieu de $ [BC]$ sont: $ \dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{2}{3}$ et $ \dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{3}{2}$ . Il s'agit des coorodnnées de $ A$ qui est donc bien le milieu de $ [BC]$ .

  4. Généralisation:

    L'équation de la tangente en $ a$ est: $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$ , soit $ y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac{1}{a}$ , et donc, $ y=-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}$ .

    Cette tangente coupe l'axe des abscisses en $ B\left(x_B;y_B\right)$ tel que $ y_B=0$ , et donc, $ 0=-\dfrac{1}{a^2}x_B+\dfrac{2}{a} \iff x_B=2a$ .

    Elle coupe l'axe des ordonnées en $ C\left(x_C;y_C\right)$ tel que $ x_C=0$ et donc, $ y_C=-\dfrac{1}{a^2}\times 0+\dfrac{2}{a}$ , d'où, $ y_c=\dfrac{2}{a}$ .


    Les coordonnées du milieu de $ [BC]$ sont alors $ \left(a;\dfrac{1}{a}\right)$ , c'est-à-dire les coordonnées du point $ A$ .

  5. Question bonus: Pour tracer la tangente en un point $ A$ de $ \mathcal{H}$ , on peut par exemple:
    • construire $ D$ symétrique de $ O$ par rapport à $ A$
    • construire $ B$ et $ C$ projections de $ D$ sur les axes
    • comme $ ODBC$ est un parallélogramme de centre $ A$ , $ A$ est le milieu de $ [BC]$ et donc, d'après ce qui précède, la droite $ (BC)$ est la tangente à $ \mathcal{H}$ en $ A$ .


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