Etude de fonction, avec fonction auxiliaire ...

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par l'expression $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$.
  1. Etude d'une fonction auxiliaire.
    On pose $g(x)=x^3-3x-4$.
    1. Etudier le sens de variation de $g$.
    2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution, que l'on notera $\alpha$, dans l'intervalle $[1;3]$.
    3. Donner un encadrement de $\alpha$ à 0,1 près.
    4. En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

  2. Etude des variations de $f$.
    Calculer $f'(x)$, et montrer que $\displaystyle f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-1)^2}$. En déduire le tableau de variation de $f$.
  3. Tangente.
    Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2.



Correction

Correction

A.
Etude d'une fonction auxiliaire.

On pose $ g(x)=x^3-3x-4$ .

  1. Pour tout $ x$ réel, $ g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)3(x-1)(x+1)$ .

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty... ...{$\searrow$} && \LARGE {$\nearrow$} & \\ &&&&&$-6$&&\\ \hline \end{tabular}$

  2. La fonction $ g$ est dérivable, strictement croissante sur l'intervalle $ [1;3]$ , avec $ g(1)=-6<0$ et $ g(3)=14>0$ .

    D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une unique solution $ \alpha$ à l'équation $ g(x)=0$ sur l'intervalle $ [1;3]$ .


    De plus, sur $ ]-\infty;\alpha[$ , on a $ g(x)<0$ et sur $ \alpha;+\infty[$ , on a $ g(x)>0$ . Ainsi, il ne peut pas y avoir d'autre solution sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ à l'équation $ g(x)=0$ .

  3. On a de plus, $ g(2,1)\simeq -1,03<0$ et $ g(2,2)\simeq 0,05>0$ , d'où on en déduit l'encadrement $ 2,1<\alpha<2,2$ .

  4. On en déduit le tableau de signe de $ g(x)$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty$\... ...(x)$\ && $-$\ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$\ & \\ \hline \end{tabular}$



B.
Etude des variations de $ f$ . Pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-1;1\right\}$ ,

$\displaystyle f'(x) =\dfrac{\left(3x^2+4x\right)\left(x^2-1\right)-\left(x^3+2... ...-1)^2} =\dfrac{x\left(x^3-3x-4\right)}{(x^2-1)^2} =\dfrac{xg(x)}{(x^2-1)^2} $

On en déduit la tableau de variation:

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\i... ...w$} && \LARGE {$\nearrow$} &\\ &&&&&&&&&$f(\alpha)$&&\\ \hline \end{tabular}$

C.
Tangente.

La tangente $ (T)$ à $ \mathcal{C}$ au point d'abscisse $ 2$ a pour équation: $ y=f'(2) (x -2)+f(2)$

avec $ f'(2)=\dfrac{2g(2)}{\left(2^2-1\right)^2}=-\dfrac{4}{9}$ , et $ f(2)=\dfrac{16}{3}$ , soit $ y=-\dfrac{4}{9}(x-2)+\dfrac{16}{3} =-\dfrac{4}{9}x+\dfrac{56}{9}$



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