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Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

  1. Ecrire le polynôme $ 2x^2-6x+10$ sous forme canonique.
  2. Résoudre les équations suivantes :
    1. $ x^2=7x$
    2. $ x^4-x^2=0$
    3. $ -x^2+7x-3=5-2x$
    4. $ \sqrt{2}x^2-2\sqrt{6}x+3\sqrt{2}=0$

  3. On cherche à résoudre l'équation $ (E) : x^3+6x^2+13x+10=0$ .
    1. Montrer que $ x^3+6x^2+13x+10=(x+2)(x^2+4x+5)$
    2. Résoudre alors l'équation $ (E)$ .




Correction

Correction

  1. $ 2x^2-6x+10=2(x^2-3x+5) =2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+5\right] =2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\right]$ .

    1. $ x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$ soit $ x=0$ ou $ x=7.$

    2. $ x^4-x^2=0 \iff x^2(x^2-1)=0 \iff x^2(x-1)(x+1)=0$ soit $ x=0$ ou $ x=1$ ou $ x=-1.$

    3. $ -x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$
      $ \Delta=b^2-4ac=81-32=49$ : $ \Delta >0$ donc l'équation admet deux racines réelles distinctes :
      $\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{9+\sqrt{49}}{2}=8 \ $    et $\displaystyle \ \ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{9-\sqrt{49}}{2}=1.$

    4. $ \sqrt{2}x^2-2\sqrt{6}x+3\sqrt{2}=0$
      $ \Delta=b^2-4ac=\left(2\sqrt{6}\right)^2-4\times\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=4\times6-24=0$ :
      $ \Delta =0$ donc l'équation admet une racine réelle double :
      $\displaystyle x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\sqrt{3}.$

  3. $ (E) : x^3+6x^2+13x+10=0$ .
    1. $ (x+2)(x^2+4x+5)=x^3+4x^2+5x+2x^2+8x+10=x^3+6x^2+13x+10$
    2. $ x^3+6x^2+13x+10=0 \iff (x+2)(x^2+4x+5)=0$
      $ x+2=0$ soit $ x=-2$ ou $ x^2+4x+5=0$ : $ \Delta=16-20=-4$ : $ \Delta <0$ donc l'équation du second degré n'admet pas de racine réelle.


      Finalement, l'équation $ (E)$ admet pour unique solution $ x=-2$ .



Tag:2nd degré

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