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Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Ecrire le polynôme sous forme canonique.
Résoudre les équations suivantes :
4. $\sqrt{2}x^2-2\sqrt{6}x+3\sqrt{2}=0$
On cherche à résoudre l'équation .
1. Montrer que
2. Résoudre alors l'équation .

Correction

$2x^2-6x+10=2(x^2-3x+5) =2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+5\right] =2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\right]$ .
1. $x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$ soit ou
2. $x^4-x^2=0 \iff x^2(x^2-1)=0 \iff x^2(x-1)(x+1)=0$ soit ou ou
3. $-x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$
  $\Delta=b^2-4ac=81-32=49$ : $\Delta >0$ donc l'équation admet deux racines réelles distinctes :
  $\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{9+\sqrt{49}}{2}=8 \$ et $\displaystyle \ \ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{9-\sqrt{49}}{2}=1.$
4. $\sqrt{2}x^2-2\sqrt{6}x+3\sqrt{2}=0$
  $\Delta=b^2-4ac=\left(2\sqrt{6}\right)^2-4\times\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=4\times6-24=0$ :
  $\Delta =0$ donc l'équation admet une racine réelle double :
  $\displaystyle x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\sqrt{3}.$
.
2. $x^3+6x^2+13x+10=0 \iff (x+2)(x^2+4x+5)=0$
  soit ou : $\Delta=16-20=-4$ : $\Delta <0$ donc l'équation du second degré n'admet pas de racine réelle.
  
  Finalement, l'équation admet pour unique solution .

Tag:2nd degré

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