Devoir de maths corrigé, Second degré
Première générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le 2nd degré: équations et inéquations, tabelaux de signes, et sur la factorisation d'un polynome de degré 3. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024
Exercice 1: Equations et inéquations du second degré
Résoudre sur les équations ou inéquations:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a) est un trinôme du 2nd degré de discriminant et admet donc deux racines réelles:
b) soit ou
c)
, donc l'équation admet deux racines réelles distinctes : et .
d) C'est le trinôme du a) qui a deux racines et . Ce trinôme est donc strictement négatif sur .
e) On cherche le signe du trinôme du dénominateur.
Son discriminant est .
Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes: et .
On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction:
On en déduit les solutions de l'inéquation:
f)
Le numérateur est un trinôme du second degré de discriminant et admet donc deux racines réelles distinctes et . On peut alors dresser le tableau de signes:
Ainsi, .
Cacher la correction
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Correction exercice 1
a) est un trinôme du 2nd degré de discriminant et admet donc deux racines réelles:
b) soit ou
c)
, donc l'équation admet deux racines réelles distinctes : et .
d) C'est le trinôme du a) qui a deux racines et . Ce trinôme est donc strictement négatif sur .
e) On cherche le signe du trinôme du dénominateur.
Son discriminant est .
Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes: et .
On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction:
On en déduit les solutions de l'inéquation:
f)
Le numérateur est un trinôme du second degré de discriminant et admet donc deux racines réelles distinctes et . On peut alors dresser le tableau de signes:
Ainsi, .
Cacher la correction
Exercice 2: Polynome de degré 3 et fraction rationnelle
- Soit le polynôme .
Vérifier que est une racine de puis factoriser le polynôme sous la forme , où est un trinôme du second degré que l'on déterminera.
Résoudre alors l'équation .
- On considère la fraction rationnelle :
Résoudre l'inéquation .
Correction exercice 2
-
On a , ce qui montre que est bien une racine de .
On en déduit que se factorise par . Soit donc , alors on a: , d'où on déduit que , soit donc, , et .
Ainsi, . Le discriminant de est et ses racines sont et .
Les solutions de l'équation sont donc: .
-
Le trinôme du dénominateur a pour discriminant et admet donc un unique racine .
À l'aide de la factorisation obtenue au , on a et les signes
On a alors,
Cacher la correction
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