Devoir de maths corrigé, Second degré

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le 2nd degré: équations et inéquations, tabelaux de signes, et sur la factorisation d'un polynome de degré 3. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Equations et inéquations du second degré

Résoudre sur $\R$ les équations ou inéquations:
a) $2x^2+5x+2=0$

b) $x^2=7x$

c) $-x^2+7x-3=5-2x$

d) $2x^2+5x+2<0$

e) $\dfrac{3x+2}{2x^2+11x-6}\geqslant 0$

f) $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2$

Correction exercice 1


a) $2x^2+5x+2=0$ est un trinôme du 2nd degré de discriminant $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines réelles: $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -2\,;\,-\dfrac12\ra$
b) $x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$ soit $x=0$ ou $x=7.$
c) $-x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$
$\Delta=49=7^2>0$, donc l'équation admet deux racines réelles distinctes : $x_1=8$ et $x_2=1$.
d) C'est le trinôme du a) qui a deux racines $2$ et $-\dfrac12$. Ce trinôme est donc strictement négatif sur $\mathcal{S}=\Bigl]-2;-\dfrac12\Bigr[$.
e) On cherche le signe du trinôme du dénominateur.
Son discriminant est $\Delta=11^2+4\tm2\tm6=169=13^2>0$.
Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes: $x_1=-6$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$.
On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-6$& &$-\frac{2}{3}$& &$\frac{1}{2}$&&$+\infty$ \\\hline $3x+2$& &-& $|$ &-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &+&$|$&+&\\\hline $2x^2+11x-6$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+&\\\hline $\frac{3x+2}{2x^2+11x-6}$ &-& \db&+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&\db&+& \\\hline \end{tabular} \]

On en déduit les solutions de l'inéquation: $\mathcal{S}=\bigr]-6\,;\,-\dfrac{2}{3}\bigr] \cup\bigr]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\bigl[$
f) $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2 \iff \dfrac{2x^2+8x+6}{x(x+2)}\leqslant0 \iff \dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}\leqslant0$
Le numérateur est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes $x_1=-3$ et $x_2=-1$. On peut alors dresser le tableau de signes:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-3$& &$-2$& &$-1$& &$0$& &$+\infty$ \\\hline $x^2+4x+3$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+& $|$ &$+$&\\\hline $x(x+2)$& &+& $|$ &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&$|$&-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & +&\\\hline $\dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}$ & &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &+&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & +&\\\hline \end{tabular} \]

Ainsi, $\mathcal{S}=[-3;-2[\cup[-1;0[$.

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Exercice 2: Polynome de degré 3 et fraction rationnelle

  1. Soit le polynôme $P(x)=3x^3-7x^2-7x+3$.
    Vérifier que $-1$ est une racine de $P$ puis factoriser le polynôme sous la forme $P(x)=(x+1)Q(x)$, où $Q(x)$ est un trinôme du second degré que l'on déterminera.
    Résoudre alors l'équation $3x^3-7x^2-7x+3=0$.
  2. On considère la fraction rationnelle : $f(x)=\dfrac{3x^3-7x^2-7x+3}{2x^2-8x+8}$
    Résoudre l'inéquation $f(x)\geq0$.

Correction exercice 2


  1. On a $P(-1)=3(-1)^3-7(-1)^2-7(-1)+3=-3-7+7+3=0$, ce qui montre que $-1$ est bien une racine de $P$.
    On en déduit que $P$ se factorise par $\bigl(x-(-1)\bigr)=(x+1)$. Soit donc $Q(x)=ax^2+bx+c$, alors on a: $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$, d'où on déduit que $\la\begin{array}{l} a=3\\ a+b=-7\\ b+c=-7 \\ c=3\enar\right.$, soit donc, $a=3$, $b=-10$ et $c=3$.

    Ainsi, $P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$. Le discriminant de $Q(x)$ est $\Delta=64$ et ses racines sont $x_1=\dfrac13$ et $x_2=3$.
    Les solutions de l'équation $P(x)=0$ sont donc: $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -1;\dfrac13;3\ra$.
  2. Le trinôme du dénominateur a pour discriminant $\Delta=8^2-4\tm2\tm8=0$ et admet donc un unique racine $x_0=\dfrac{-(-8)}{2\tm2}=2$.
    À l'aide de la factorisation obtenue au $1)$, on a $f(x)=\dfrac{(x+1)(3x^2-10x+3)}{2x^2-8x+8}$ et les signes
    \[ \begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-1$& &$\frac{1}{3}$& &$2$& &$3$& &$+\infty$ \\\hline $x+1$& &-& \zb&+& $|$ &+&$|$&+&$|$&+&\\\hline $3x^2-10x+3$& &+& $|$&+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&$|$&-&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&+&\\\hline $2x^2-8x+8$& &+& $|$&+& $|$ &+&\zb&+&$|$&+& \\\hline $f(x)$& &-& \zb&+& \zb &-&\db&-&\zb&+& \\\hline \end{tabular} \]

    On a alors, $f(x)\geq0 \Longleftrightarrow x\in[-1;\frac{1}{3}]\cup[3;+\infty[$


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