Polynôme de 3 en sinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

  1. Montrer que $ 1$ est une racine du polynôme $ P(x)=2x^3-17x^2+7x+8$ .

    En déduire une factorisation de $ P(x)$ .

  2. Résoudre dans $ {\rm I\kern-.1567em R}$ l'équation: $ 2\sin^3x-17\sin^2x+7\sin+8=0$ .



Correction

Correction

  1. $ P(1)=2\times 1^3-17\times 1^2+7\times 1+8=0$ , et donc $ 1$ est bien une racine de $ P$ .

    On en déduit que $ P$ se factorise selon $ P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$ , d'où, en identifiant les coefficients: $ \left\{\begin{array}{ll} a=2 \\ -a+b=-17 \\ -b+c=7 \\ -c=8 \end{array}... .... \iff \left\{\begin{array}{ll} a=2 \\ b=-15 \\ c=-8 \end{array}\right.$

    Ainsi, le polynôme $ P$ se factorise suivant: $ P(x)=(x-1)(2x^2-15x-8)$ .

  2. L'équation s'écrit, en utilisant le polynôme $ P$ précédent: $ P(\sin x)=0$ .

    On recherche donc les racines de $ P$ .

    $ P(x)=0\iff (x-1)(2x^2-15x-8)=0$ . Le discriminant du trinôme du second degré est $ \Delta=(-15)^2-4\times 2\times (-8)=289=17^2>0$ . Ce trinôme admet donc deux racines distinctes: $ x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $ x_2=8$ .

    Le polynôme $ P$ admet donc 3 racines: $ x_0=1$ , $ x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $ x_3=8$ .


    Les solutions de l'équation sont donc les valeurs de $ x$ telles que

    $ \bullet$
    $ \sin x = x_0=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
    $ \bullet$
    $ \sin x = x_1=-\dfrac{1}{2}=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \iff x=-\dfrac{\pi}{6} +k2\pi$ ou $ x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$ .
    $ \bullet$
    $ \sin x = x_3=8$ : impossible, car pour tout $ x$ , $ \sin x<1$ .

    Les solutions de l'équation sont donc, $ \mathcal{S} =\left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\ ;\ \dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\ ;\ k\in{\sf Z\kern-4.5pt Z} \right\}$



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