Polynôme de 3 en sinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Montrer que est une racine du polynôme .
En déduire une factorisation de .
Résoudre dans ${\rm I\kern-.1567em R}$ l'équation: $2\sin^3x-17\sin^2x+7\sin+8=0$ .

Correction

$P(1)=2\times 1^3-17\times 1^2+7\times 1+8=0$ , et donc est bien une racine de .
On en déduit que se factorise selon , d'où, en identifiant les coefficients: $\left\{\begin{array}{ll} a=2 \\ -a+b=-17 \\ -b+c=7 \\ -c=8 \end{array}... .... \iff \left\{\begin{array}{ll} a=2 \\ b=-15 \\ c=-8 \end{array}\right.$
Ainsi, le polynôme se factorise suivant: .
L'équation s'écrit, en utilisant le polynôme précédent: $P(\sin x)=0$ .
On recherche donc les racines de .
$P(x)=0\iff (x-1)(2x^2-15x-8)=0$ . Le discriminant du trinôme du second degré est $\Delta=(-15)^2-4\times 2\times (-8)=289=17^2>0$ . Ce trinôme admet donc deux racines distinctes: $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et .
Le polynôme admet donc 3 racines: , $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et .

Les solutions de l'équation sont donc les valeurs de telles que

$\bullet$

$\sin x = x_0=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

$\bullet$

$\sin x = x_1=-\dfrac{1}{2}=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \iff x=-\dfrac{\pi}{6} +k2\pi$ ou $x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$ .

$\bullet$

$\sin x = x_3=8$ : impossible, car pour tout , $\sin x<1$ .

Les solutions de l'équation sont donc, $\mathcal{S} =\left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\ ;\ \dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\ ;\ k\in{\sf Z\kern-4.5pt Z} \right\}$