Modélisation d'un tobogan

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Pour faire franchir à des chariots une marche de deux mètres de haut, sur une distance de horzontale de cinq mètres, on cherche à construire un tobogan.

Dans un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ la courbe $ \mathcal{C}$ , qui est une vue en coupe du tobogan, doit obéir aux contraintes suivantes:

  • la courbe passe par les points $ O$ et $ A(5;2)$
  • les tangentes en $ O$ et $ A$ sont horizontales (pour se raccorder sans "angle" avec le sol).


\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3) \psline[arrowsize=5pt,linewidth=0.4pt]{->}(-2.5,0... ...$} \rput(-0.3,2){$2$} \rput(-0.2,-0.2){$O$} \rput(5,2.3){$A$} \end{pspicture}

  1. On recherche une fonction polynôme du troisième degré: $ f:x\mapsto ax^3+bx^2+cx+d$ , et dont la courbe représentative est $ \mathcal{C}$ .

    Déterminer les coefficients $ a$ , $ b$ , $ c$ et $ d$ pour que la courbe $ \mathcal{C}$ représentative de $ f$ convienne.

  2. Déterminer les coordonnées du point $ I$ milieu de $ [OA]$ . Ce point appartient-il à $ \mathcal{C}$ ?


    La pente en un point de la courbe est le coefficient directeur de la tangente à $ \mathcal{C}$ en ce point.

    Quelle est la pente de $ \mathcal{C}$ en $ I$ ?


Correction
  1. La fonction $ f$ doit vérifier les conditions suivantes:
    $ \bullet$
    $ f(0)=0$ soit, comme $ f(0)=d$ , $ d=0$ .
    $ \bullet$
    $ f'(0)=0$ soit, comme $ f'(x)=3ax^2+2bx+c$ , donc $ f'(0)=c$ , et $ c=0$ .

    On a alors, $ f(x)=ax^3+bx^2$ .


    $ \bullet$
    $ f(5)=125a+25b=2$
    $ \bullet$
    $ f'(5)=0$ soit, comme $ f'(x)=3ax^2+2bx$ , l'équation $ 75a+10b=0$

    Les deux dernières équations permettent de calculer $ a$ et $ b$ : $ \left\{\begin{array}{ll} 125a+25b=2 \\ 75a+10b=0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{ll} a=-\dfrac{4}{125} \\ b=\dfrac{6}{25} \end{array}\right. $

    En résumé, la fonction $ f$ s'écrit $ f(x)=-\dfrac{4}{125}x^3+\dfrac{6}{25}x^2$ .

  2. Le point $ I$ , milieu de $ [OA]$ a pour coordonnées $ I\left(\dfrac{5}{2};1\right)$ .

    De plus, $ f\left(\dfrac{5}{2}\right) =-\dfrac{4}{125}\left(\dfrac{5}{2}\right)^3+\dfrac{6}{25}\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 =-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=1 $ .

    Ainsi, le point $ I$ appartient à $ \mathcal{C}$ .


    La pente en $ I$ est $ f'\left(\dfrac{5}{2}\right)$ , or $ f'(x)=-\dfrac{12}{125}x^2+\dfrac{12}{25}x$ , et donc,

    $\displaystyle f'\left(\dfrac{5}{2}\right) =-\dfrac{12}{125}\left(\dfrac{5}{2}\... ...c{12}{25}\left(\dfrac{5}{2}\right) =-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}=\dfrac{3}{5}\,.$

    La pente en $ I$ est donc de $ \dfrac{3}{5}$ .



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