Variation d'une fonction rationnelle et équation d'une tangente
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie par
.
Donner l'équation de la tangente à la courbe de
au point d'abscisse 1.


Donner l'équation de la tangente à la courbe de

Correction
.
On a
,
avec
donc
,
et
donc
.
On a donc
,
soit
Le numérateur et un trinôme du second degré qui a pour discriminant a
et admet donc deux racines:
et
.
Le dénominateur s'annule en
qui est donc une valeur interdite.
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-5$ && $-2$ && 1 && $+\infty$ \\\hline
$x^2+4x-5$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x+2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar2_c/13.png)
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation
,
avec
et
, d'où l'équation
: la tangente est horizontale.
Correction






On a donc


Le numérateur et un trinôme du second degré qui a pour discriminant a



Le dénominateur s'annule en

![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-5$ && $-2$ && 1 && $+\infty$ \\\hline
$x^2+4x-5$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x+2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar2_c/13.png)
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation




Tag:Fonctions et dérivées
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