Démonstration: fonction produit est croissante

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, et qui sont de plus positives et croissantes sur $I$.
Démontrer que la fonction produit $h=fg$ est croissante sur $I$.


Correction

Correction

La fonction produit $f=gh$ est aussi définie et dérivable sur $I$, avec $h'=f'g+fg'$, c'està-dire, pour tout $x\in I$,
\[h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

On sait que, pour tout $x\in I$, $f$ et $g$ sont positives, c'est-à-dire que $f(x)\geqslant0$ et $g(x)\geqslant0$.
On sait aussi que $f$ et $g$ sont croissantes, et donc que leurs dériv''es sont positives, soit $f'(x)\geqslant0$ et $g'(x)\geqslant0$.
On a donc $f'(x)g(x)\geqslant0$ ainsi que $f(x)g'(x)\geqslant0$ et de même pour le signe de leur somme:
\[h'=(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\geqslant0\]

Ainsi $h'$ est positive et donc $h$ est croissante sur $I$.


Tag:Fonctions et dérivées

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