Devoir de maths corrigé, Plan complexe

Maths expertes, terminale générale

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les nombres complexes posé en maths expertes, terminale générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Lieux de points dans le plan complexe, et équation cartésienne

Représenter graphiquement et donner l'équation cartésienne, de l'ensemble des points $M(z)$ tels que
a) $E_1: |z-2i+1|=2$,      b) $E_2: |z-1+i|=|z-2|$

Correction exercice 1


  1. Soit $M(z)$ et $A(-1+2i)$ alors on a
    \[\begin{array}{rl} M\in E_1 \iff&|z-2i+1|=2\\[.5em] \iff&|z-(-1+2i)|=2\\[.5em] \iff&AM=2\enar\]


    $E_1$ est donc le cercle de entre $A$ et de rayon 2.
    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,4.6) \psline{->}(-4,0)(3,0) \psline{->}(0,-2)(0,4.5) \rput(-3,6.2){\red$E_1$} \rput(-1,2){$\tm$}\rput[l](-1.5,2.5){$A$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)(0,2) \rput[l](.2,2){$2$}\rput(-1,-.4){$-1$} \psarc[linewidth=1.3pt,linecolor=red](-1,2){2}{0}{360} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \end{pspicture*}\]

    Pour obtenir l'équation cartésienne, on introduit les coordonnées cartésiennes des points: $z=x+iy$ et $M(x;y)$ et $A(-1;2)$ et alors, en élevant au carré,
    \[\begin{array}{ll}|z-2i+1|^2&=|(x+1)+i(y-2)|^2\\[.5em] &=(x+1)^2+(y-2)^2\enar\]

    d'où l'équation cartésienne du cercle $E_1$:
    \[(x+1)^2+(y-2)^2=4\]


  2. Soit $M(z)$ et $A(1-i)$ et $B(2)$ alors on a $M\in E_2 \iff |z-(1-i)|=|z-2| \iff AM=BM$.
    $E_2$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-2,-2)(4,4) \psline{->}(-2,0)(4,0) \psline{->}(0,-2)(0,4) \rput(-3,6.2){\red$E_1$} \rput(1,-1){$\tm$}\rput[l](1.2,-1){$A$} \rput(2,0){$\tm$}\rput(2.2,.2){$B$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \psline(1,-1)(2,0) % V{AB}(1,1) I(1.5,-.5) %\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0 \iff (x-1.5)+(y+0.5)=0 \iff y=-x+1 \psplot[linewidth=1.3pt,linecolor=red]{-3}{3}{-1 x mul 1 add} \rput(-1,2.6){\red$E_2$} \end{pspicture*}\]

    Pour obtenir l'équation cartésienne de la droite, on pose $z=x+iy$ et alors, en élevant aux carré les modules qui sont des nombres positifs
    \[\begin{array}{rl}(E_2):&|z-1+i|=|z-2|\\[.5em] \iff&|(x-1)+i(y+1)|^2=|(x-2)+iy|^2\\[.5em] \iff&(x-1)^2+(y+1)^2=(x-2)^2+y^2 \enar\]

    En développant les identités remarquables, tous les carrés se simplifient et il reste alors
    \[\begin{array}{rl}(E_2): &x^2-2x+1+y^2+2y+1=x^2-4x+4+y^2\\[.5em] \iff&2x+2y-2=0\enar\]

    ou encore l'équation cartésienne de la droite: $x+y-1=0$ ou aussi l'équation réduite $y=-x+1$


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Exercice 2: Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle de nombres complexes

(Baccalauréat France métropolitaine, Septembre 2007, 5 points) Soit les nombres complexes :
\[z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6},~ z_{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\]

  1. Écrire $Z$ sous forme algébrique.
  2. Donner les modules et arguments de $z_1$, $z_2$ et $Z$.
  3. En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
  4. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2007}$.

Correction exercice 2


  1. On a
    \[\begin{array}{ll}Z&= \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt2 + i\sqrt6}{2 + 2i}\\[.8em] &=\dfrac{(\sqrt2 + i\sqrt6)(2-2i)}{(2 + 2i)(2-2i)}\\[.8em] &=\dfrac{2\sqrt2+2\sqrt6-2i\sqrt2+2i\sqrt6}{8}\\[.8em] &=\dfrac14\lp\sqrt2+\sqrt6\rp+\dfrac14i\lp-\sqrt2+\sqrt6\rp\enar\]

    • $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$. On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$.
    • On a de même $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$, puis $z_{2} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$.
    • Il suit alors
      \[\begin{array}{ll}\text{arg}(Z)&=\arg\lp\dfrac{z_1}{z_2}\rp\\[.8em] &=\arg(z_1)-\arg(z_2)\\[.6em] &=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4 =\dfrac{\pi}{12}~[2\pi] \enar\]


      On calcule aussi le module:
      \[|Z| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}=1\]

  3. On déduit des cacluls précédents que
    \[Z = \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\]

    et alors par identification avec la forme algébrique de la question 1):
    \[\la\begin{array}{ll} \cos \lp\dfrac{\pi}{12}\right) &= \dfrac14\lp\sqrt2+\sqrt6\right)\\[.8em] \sin \lp\dfrac{\pi}{12}\right) &= \dfrac14\lp-\sqrt2+\sqrt6\right) \enar\right.\]


  4. On calcule le module: $\left|Z^{2007} \right| = |Z|^{2007} = 1^{2007} = 1$
    puis l'argument:
    \[\begin{array}{ll}\text{arg}\left( Z^{2007} \right) &= 2007\times \dfrac{\pi}{12}= \dfrac{669\pi}{4}\\[.8em] &= 168\pi - \dfrac{3\pi}{4} \equiv -\dfrac{3\pi}{4}~[2\pi]\enar\]


    On a donc
    \[\begin{array}{ll}Z^{2007} = e^{-\frac{3\pi}{4}} &= \cos\lp-\frac{3\pi}{4} \right) + i\sin\lp-\frac{3\pi}{4}\right)\\[.8em] &= - \dfrac{\sqrt2}{2} - i\dfrac{\sqrt2}{2}\enar\]



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Exercice 3: Racines d'une équation du 2nd degré sous forme exponentielle

Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2-2\sqrt2\,z+4=0$.
Écrire les solutions sous forme exponentielle.

Correction exercice 3


Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=\lp2\sqrt{2}\rp^2-4\tm1\tm4=-8<0$.
L'équation admet donc deuxsolutions complexes conjuguées:
\[z_1=\dfrac{2\sqrt2-i\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\sqrt2-i2\sqrt2}{2}=\sqrt2\lp1-i\rp\]

et
\[z_2=\overline{z_1}=\sqrt2\lp1+i\rp\]


Pour écrire sous forme exponentielle ces racines, on détermine leur module et leur argument.
On a $\left| z_1\right|=2$ et $arg\left( z_1\rp=\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.
On trouve ainsi que $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$, et donc la forme exponentielle $z_1=2e^{-i\frac{\pi}{4}}$.
On a alors pour la deuième racine
\[z_2=\overline{z_1}=2e^{i\frac{\pi}{4}}\]



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Voir aussi:
ccc