Ensembles de points du plan complexe

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Représenter, en justifiant, l'ensemble des points $M(z)$ tels que
a) $E_1: |z-3i|=4$,      b) $E_2: |z-1+i|=|z-2|$      c) $E_3: \arg(z-2-i)=\dfrac{3\pi}4$


Correction

Correction

  1. Soit $M(z)$ et $A(3i)$ alors on a $M\in E_1 \iff |z-3i|=4 \iff AM=4$.
    $E_1$ est donc le cercle de entre $A$ et de rayon 4.
    \[\psset{unit=.7cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,8) \psline{->}(-4,0)(4,0) \psline{->}(0,-2)(0,8) \rput(-3,6.2){\red$E_1$} \rput(0,3){$\tm$}\rput[l](.2,3.1){$A$}\rput[r](-.2,3){$3$} \psarc[linewidth=1.3pt,linecolor=red](0,3){4}{0}{360} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \end{pspicture*}\]


  2. Soit $M(z)$ et $A(1-i)$ et $B(2)$ alors on a $M\in E_2 \iff |z-(1-i)|=|z-1| \iff AM=BM$.
    $E_2$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-2,-2)(4,4) \psline{->}(-2,0)(4,0) \psline{->}(0,-2)(0,4) \rput(-3,6.2){\red$E_1$} \rput(1,-1){$\tm$}\rput[l](1.2,-1){$A$} \rput(2,0){$\tm$}\rput(2.2,.2){$B$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \psline(1,-1)(2,0) % V{AB}(1,1) I(1.5,-.5) %\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0 \iff (x-1.5)+(y+0.5)=0 \iff y=-x+1 \psplot[linewidth=1.3pt,linecolor=red]{-3}{3}{-1 x mul 1 add} \rput(-1,2.6){\red$E_2$} \end{pspicture*}\]


  3. Soit $M(z)$ et $A(2+i)$ alors on a $M\in E_3 \iff \arg(z-2-i)=\dfrac{3\pi}4 \iff \lp\vec{u};\overrightarrow{AM}\rp=\dfrac{3\pi}4$.
    $E_3$ est donc la demi-droite suivante
    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-3,-1)(4,5) \psline{->}(-3,0)(4,0) \psline{->}(0,-1)(0,5) \psline[linewidth=1.3pt,linecolor=red](2,1)(-4,5) \rput(-1,3.5){\red$E_3$} \rput(2,1){$\tm$}\rput(2.2,.7){$A$} \psline[linestyle=dashed](2,1)(5,1) \psarc{->}(2,1){.8}{0}{145} \rput(2.2,2.2){$\frac{3\pi}4$} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1)(0,1) \rput(2,-.2){$2$}\rput(-.2,1){$1$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \end{pspicture*}\]



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