Formes algébriques et exponentielles et valeur exacte cosinus

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que: $z_1 = 4\sqrt2 e^{-i\frac\pi4}$ et $z_2 = -1 - i\sqrt3$.
  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
  2. Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle de $z_2$.
  3. En déduire les formes algébrique et exponentielle de $\dfrac{z_1}{z_2}$
  4. En déduire la valeur de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$.



Correction

Correction

Soit deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que: $z_1 = 4\sqrt2 e^{-i\frac\pi4}$ et $z_2 = -1 - i\sqrt3$.
  1. $z_1=4\sqrt2\lp\cos\lp-\dfrac\pi4\rp+i\sin\lp-\dfrac\pi4\rp\rp =4\sqrt2\lp\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2\right) =4-4i$.
  2. On a $|z_2|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=2$ et $\arg(z_2)=\theta$ avec $\cos\theta=\dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{-\sqrt3}{2}$ d'où $\theta=-\dfrac{2\pi}3$
    Sous forme exponentielle, $z_2=2e^{-i\frac{2\pi}3}$
  3. $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4-4i}{-1-i\sqrt3}=\dfrac{(4-4i)(-1+i\sqrt3)}4 =(-1+\sqrt3)+i(1+\sqrt3)$
    et, sous forme exponentielle,
    \[\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4\sqrt2e^{-i\frac\pi4}}{2e^{-i\frac{2\pi}3}} =2\sqrt2e^{i\lp-\frac\pi4+\frac{2\pi}3\right)} =2\sqrt2e^{i\frac{5\pi}{12}}\]

  4. En identifiant les parties réelles des epxressions précédentes de $\dfrac{z_1}{z_2}$, on trouve que
    \[2\sqrt2\cos\dfrac{5\pi}{12}=-1+\sqrt3 \iff\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{-1+\sqrt3}{2\sqrt2}\]



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