Ensembles de points du plan complexe, modules et équations cartésiennes

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Représenter graphiquement et donner l'équation cartésienne, de l'ensemble des points $M(z)$ tels que
a) $E_1: |z-2i+1|=2$,      b) $E_2: |z-1+i|=|z-2|$


Correction

Correction

  1. Soit $M(z)$ et $A(-1+2i)$ alors on a
    \[\begin{array}{rl} M\in E_1 \iff&|z-2i+1|=2\\[.5em] \iff&|z-(-1+2i)|=2\\[.5em] \iff&AM=2\enar\]


    $E_1$ est donc le cercle de entre $A$ et de rayon 2.
    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,4.6) \psline{->}(-4,0)(3,0) \psline{->}(0,-2)(0,4.5) \rput(-3,6.2){\red$E_1$} \rput(-1,2){$\tm$}\rput[l](-1.5,2.5){$A$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)(0,2) \rput[l](.2,2){$2$}\rput(-1,-.4){$-1$} \psarc[linewidth=1.3pt,linecolor=red](-1,2){2}{0}{360} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \end{pspicture*}\]

    Pour obtenir l'équation cartésienne, on introduit les coordonnées cartésiennes des points: $z=x+iy$ et $M(x;y)$ et $A(-1;2)$ et alors, en élevant au carré,
    \[\begin{array}{ll}|z-2i+1|^2&=|(x+1)+i(y-2)|^2\\[.5em] &=(x+1)^2+(y-2)^2\enar\]

    d'où l'équation cartésienne du cercle $E_1$:
    \[(x+1)^2+(y-2)^2=4\]


  2. Soit $M(z)$ et $A(1-i)$ et $B(2)$ alors on a $M\in E_2 \iff |z-(1-i)|=|z-2| \iff AM=BM$.
    $E_2$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-2,-2)(4,4) \psline{->}(-2,0)(4,0) \psline{->}(0,-2)(0,4) \rput(-3,6.2){\red$E_1$} \rput(1,-1){$\tm$}\rput[l](1.2,-1){$A$} \rput(2,0){$\tm$}\rput(2.2,.2){$B$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.2,-.2){$O$} \rput(-.3,.3){$\vec{v}$} \rput(.3,-.3){$\vec{u}$} \psline(1,-1)(2,0) % V{AB}(1,1) I(1.5,-.5) %\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0 \iff (x-1.5)+(y+0.5)=0 \iff y=-x+1 \psplot[linewidth=1.3pt,linecolor=red]{-3}{3}{-1 x mul 1 add} \rput(-1,2.6){\red$E_2$} \end{pspicture*}\]

    Pour obtenir l'équation cartésienne de la droite, on pose $z=x+iy$ et alors, en élevant aux carré les modules qui sont des nombres positifs
    \[\begin{array}{rl}(E_2):&|z-1+i|=|z-2|\\[.5em] \iff&|(x-1)+i(y+1)|^2=|(x-2)+iy|^2\\[.5em] \iff&(x-1)^2+(y+1)^2=(x-2)^2+y^2 \enar\]

    En développant les identités remarquables, tous les carrés se simplifient et il reste alors
    \[\begin{array}{rl}(E_2): &x^2-2x+1+y^2+2y+1=x^2-4x+4+y^2\\[.5em] \iff&2x+2y-2=0\enar\]

    ou encore l'équation cartésienne de la droite: $x+y-1=0$ ou aussi l'équation réduite $y=-x+1$


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