Calculs algébriques, modules et une équation

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

  1. Soit $z_1=3+4i$.
    Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z_2=\dfrac{50}{z_1}$.
    Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.
  2. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $2iz+6-i=2\overline{z}+5i$



Correction

Correction

  1. $z_2=\dfrac{50}{3+4i}=\dfrac{50(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} =\dfrac{50(3-4i)}{25} =2(3-4i)=6-8i$
    On calcule alors les modules: $|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $|z_2|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10$

  2. Soit $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$ tel que $2iz+6-i=2\overline{z}+5i$ alors

    \[\begin{array}{ll}&2i(x+iy)+6-i=2(x-iy)+5i\\ \iff&(-2y+6)+i(2x-1)=2x+i(-2y+5) \enar\]

    On identifie alors les parties réelles et imaginaires:
    \[\la\begin{array}{rcl} -2y+6&=&2\\ 2x-1&=&-2y+5\enar\right.\]

    La première équation donne $y=2$ et la deuxième devient alors
    \[2x-1=-4+5=1\iff x=1\]

    La solution est alors $z=1+2i$


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