Formes algébriques et exponentielles et cosinus pi sur 12

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

(Baccalauréat France métropolitaine, Septembre 2007, 5 points) Soit les nombres complexes :
\[z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6},~ z_{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\]

  1. Écrire $Z$ sous forme algébrique.
  2. Donner les modules et arguments de $z_1$, $z_2$ et $Z$.
  3. En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
  4. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2007}$.



Correction

Correction

  1. On a
    \[\begin{array}{ll}Z&= \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt2 + i\sqrt6}{2 + 2i}\\[.8em] &=\dfrac{(\sqrt2 + i\sqrt6)(2-2i)}{(2 + 2i)(2-2i)}\\[.8em] &=\dfrac{2\sqrt2+2\sqrt6-2i\sqrt2+2i\sqrt6}{8}\\[.8em] &=\dfrac14\lp\sqrt2+\sqrt6\rp+\dfrac14i\lp-\sqrt2+\sqrt6\rp\enar\]

    • $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$. On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$.
    • On a de même $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$, puis $z_{2} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$.
    • Il suit alors
      \[\begin{array}{ll}\text{arg}(Z)&=\arg\lp\dfrac{z_1}{z_2}\rp\\[.8em] &=\arg(z_1)-\arg(z_2)\\[.6em] &=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4 =\dfrac{\pi}{12}~[2\pi] \enar\]


      On calcule aussi le module:
      \[|Z| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}=1\]

  3. On déduit des cacluls précédents que
    \[Z = \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\]

    et alors par identification avec la forme algébrique de la question 1):
    \[\la\begin{array}{ll} \cos \lp\dfrac{\pi}{12}\right) &= \dfrac14\lp\sqrt2+\sqrt6\right)\\[.8em] \sin \lp\dfrac{\pi}{12}\right) &= \dfrac14\lp-\sqrt2+\sqrt6\right) \enar\right.\]


  4. On calcule le module: $\left|Z^{2007} \right| = |Z|^{2007} = 1^{2007} = 1$
    puis l'argument:
    \[\begin{array}{ll}\text{arg}\left( Z^{2007} \right) &= 2007\times \dfrac{\pi}{12}= \dfrac{669\pi}{4}\\[.8em] &= 168\pi - \dfrac{3\pi}{4} \equiv -\dfrac{3\pi}{4}~[2\pi]\enar\]


    On a donc
    \[\begin{array}{ll}Z^{2007} = e^{-\frac{3\pi}{4}} &= \cos\lp-\frac{3\pi}{4} \right) + i\sin\lp-\frac{3\pi}{4}\right)\\[.8em] &= - \dfrac{\sqrt2}{2} - i\dfrac{\sqrt2}{2}\enar\]



Tag:Plan complexe

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