Formes algébriques et exponentielles et cosinus pi sur 12

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

(Baccalauréat France métropolitaine, Septembre 2007, 5 points) Soit les nombres complexes :

$z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6},~ z_{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.$

Écrire sous forme algébrique.
Donner les modules et arguments de , et .
En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$ .
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2007}$ .

Correction

On a

$\begin{array}{ll}Z&= \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt2 + i\sqrt6}{2 + 2i}\\[.8em] &=\dfrac{(\sqrt2 + i\sqrt6)(2-2i)}{(2 + 2i)(2-2i)}\\[.8em] &=\dfrac{2\sqrt2+2\sqrt6-2i\sqrt2+2i\sqrt6}{8}\\[.8em] &=\dfrac14\lp\sqrt2+\sqrt6\rp+\dfrac14i\lp-\sqrt2+\sqrt6\rp\enar$
- $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$ . On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ . Donc arg $(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$ .
- On a de même $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$ , puis $z_{2} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$ . Donc arg $(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$ .
- Il suit alors
  
  $\begin{array}{ll}\text{arg}(Z)&=\arg\lp\dfrac{z_1}{z_2}\rp\\[.8em] &=\arg(z_1)-\arg(z_2)\\[.6em] &=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4 =\dfrac{\pi}{12}~[2\pi] \enar$
  
  On calcule aussi le module:
  
  $|Z| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}=1$
On déduit des cacluls précédents que

$Z = \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$

et alors par identification avec la forme algébrique de la question 1):

$\la\begin{array}{ll} \cos \lp\dfrac{\pi}{12}\right) &= \dfrac14\lp\sqrt2+\sqrt6\right)\\[.8em] \sin \lp\dfrac{\pi}{12}\right) &= \dfrac14\lp-\sqrt2+\sqrt6\right) \enar\right.$
On calcule le module: $\left|Z^{2007} \right| = |Z|^{2007} = 1^{2007} = 1$
puis l'argument:

$\begin{array}{ll}\text{arg}\left( Z^{2007} \right) &= 2007\times \dfrac{\pi}{12}= \dfrac{669\pi}{4}\\[.8em] &= 168\pi - \dfrac{3\pi}{4} \equiv -\dfrac{3\pi}{4}~[2\pi]\enar$

On a donc

$\begin{array}{ll}Z^{2007} = e^{-\frac{3\pi}{4}} &= \cos\lp-\frac{3\pi}{4} \right) + i\sin\lp-\frac{3\pi}{4}\right)\\[.8em] &= - \dfrac{\sqrt2}{2} - i\dfrac{\sqrt2}{2}\enar$

Tag:Plan complexe

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