Devoir de maths corrigé, Congruences, division euclidienne et nombres complexes

Maths expertes, terminale générale

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en maths expertes, terminale générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calculs algébriques, modules et une équation

  1. Soit $z_1=3+4i$.
    Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z_2=\dfrac{50}{z_1}$.
    Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.
  2. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $2iz+6-i=2\overline{z}+5i$

Correction exercice 1


  1. $z_2=\dfrac{50}{3+4i}=\dfrac{50(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} =\dfrac{50(3-4i)}{25} =2(3-4i)=6-8i$
    On calcule alors les modules: $|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $|z_2|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10$

  2. Soit $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$ tel que $2iz+6-i=2\overline{z}+5i$ alors

    \[\begin{array}{ll}&2i(x+iy)+6-i=2(x-iy)+5i\\ \iff&(-2y+6)+i(2x-1)=2x+i(-2y+5) \enar\]

    On identifie alors les parties réelles et imaginaires:
    \[\la\begin{array}{rcl} -2y+6&=&2\\ 2x-1&=&-2y+5\enar\right.\]

    La première équation donne $y=2$ et la deuxième devient alors
    \[2x-1=-4+5=1\iff x=1\]

    La solution est alors $z=1+2i$


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Exercice 2: Congruence et reste de la division euclidienne

Soit $a$ un entier relatif tel que $a\equiv68[26]$.
  1. Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par 26 ?
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par 13 ?


Correction exercice 2


  1. $a\equiv68[26]$ signifie que $a=26k+68$ pour un certain entier $k$.
    $68>26$ est trop grand pour être le reste de la division euclidienne.
    On écrit alors alors
    \[\begin{array}{ll}a&=26(k+2)+68-26\tm2\\[.4em]&=26(k+2)+16\enar\]

    et cette fois $0\leqslant16<26$ et donc 16 est le reste de la division euclidienne de $a$ par 26.
  2. Pour la division euclidienne par 13, le reste précédent est à nouveau trop grand, et on écrit alors
    \[\begin{array}{ll}a&=26(k+2)+16\\[.4em] &=13\tm2(k+2)+16\\[.4em] &=13\tm\bigl[2(k+1)+1\bigr]+3\enar\]

    ce qui montre que le reste de la division euclidienne de $a$ par 13 est 3.


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Exercice 3: Reste dans la division euclidienne par 5

Déterminer le reste de la division eculidienne de ${8642}^{2468}$ par 5.

Correction exercice 3


On a tout d'abord $8462\equiv2[5]$, et donc
\[\begin{array}{ll}8642&=864\tm10+2\\ &=(864\tm2)\tm5+2\\ &\equiv2\,[5]\enar\]

De plus, on les congruences des puissances successives:
  • $2^2\equiv4[5]$
  • $2^3\equiv3[5]$
  • $2^4\equiv1[5]$
et donc $2468=2\tm1234=4\tm617$ d'où
\[2^{2468}=\lp2^4\rp^{617}\equiv1^{617}[5]\]

d'où
\[8642^{2468}\equiv 1[5]\]

et le reste de la divsion euclidienne par 5 est donc 1.

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Exercice 4: Produit multiple de 6, tableau de congruences

Soit $n$ un entier relatif. Montrer que l'entier $N=n(n+2)(7n-5)$ est toujours un multiple de 6.
(on pourra utiliser un tableau de congruences).

Correction exercice 4


On construit le tableau des congruences de $N$ selon celles de $n$ modulo 6:
\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $n\equiv \dots [6]$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\hline $n+2\equiv \dots [6]$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1\\\hline $7n-5\equiv \dots [6]$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0\\\hline $N\equiv\dots[6]$ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline \end{tabular}\]

Ainsi, dans tous les cas on a $N=n(n+2)(7n-5)\equiv0[6]$, ce qui signifie exactement que l'entier $N$ est un multiple de 6.

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Quelques autres devoirs



Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Ecrire sous forme algébrique


Exercices corrigés
Des équations complexes


Exercices corrigés
Une racine carrée complexe


Exercices corrigés
Une équation complexe


Exercices corrigés
Une équation complexe (bis)





Voir aussi:
ccc