Devoir de maths corrigé, Congruences, division euclidienne et nombres complexes

Maths expertes, terminale générale

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en maths expertes, terminale générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Calculs algébriques, modules et une équation

  1. Soit $z_1=3+4i$.
    Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z_2=\dfrac{50}{z_1}$.
    Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.
  2. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $2iz+6-i=2\overline{z}+5i$

Correction exercice 1


  1. $z_2=\dfrac{50}{3+4i}=\dfrac{50(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} =\dfrac{50(3-4i)}{25} =2(3-4i)=6-8i$
    On calcule alors les modules: $|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $|z_2|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10$

  2. Soit $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$ tel que $2iz+6-i=2\overline{z}+5i$ alors

    \[\begin{array}{ll}&2i(x+iy)+6-i=2(x-iy)+5i\\ \iff&(-2y+6)+i(2x-1)=2x+i(-2y+5) \enar\]

    On identifie alors les parties réelles et imaginaires:
    \[\la\begin{array}{rcl} -2y+6&=&2\\ 2x-1&=&-2y+5\enar\right.\]

    La première équation donne $y=2$ et la deuxième devient alors
    \[2x-1=-4+5=1\iff x=1\]

    La solution est alors $z=1+2i$


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Exercice 2: Congruence et reste de la division euclidienne

Soit $a$ un entier relatif tel que $a\equiv68[26]$.
  1. Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par 26 ?
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par 13 ?


Correction exercice 2


  1. $a\equiv68[26]$ signifie que $a=26k+68$ pour un certain entier $k$.
    $68>26$ est trop grand pour être le reste de la division euclidienne.
    On écrit alors alors
    \[\begin{array}{ll}a&=26(k+2)+68-26\tm2\\[.4em]&=26(k+2)+16\enar\]

    et cette fois $0\leqslant16<26$ et donc 16 est le reste de la division euclidienne de $a$ par 26.
  2. Pour la division euclidienne par 13, le reste précédent est à nouveau trop grand, et on écrit alors
    \[\begin{array}{ll}a&=26(k+2)+16\\[.4em] &=13\tm2(k+2)+16\\[.4em] &=13\tm\bigl[2(k+1)+1\bigr]+3\enar\]

    ce qui montre que le reste de la division euclidienne de $a$ par 13 est 3.


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Exercice 3: Reste dans la division euclidienne par 5

Déterminer le reste de la division eculidienne de ${8642}^{2468}$ par 5.

Correction exercice 3


On a tout d'abord $8462\equiv2[5]$, et donc
\[\begin{array}{ll}8642&=864\tm10+2\\ &=(864\tm2)\tm5+2\\ &\equiv2\,[5]\enar\]

De plus, on les congruences des puissances successives:
  • $2^2\equiv4[5]$
  • $2^3\equiv3[5]$
  • $2^4\equiv1[5]$
et donc $2468=2\tm1234=4\tm617$ d'où
\[2^{2468}=\lp2^4\rp^{617}\equiv1^{617}[5]\]

d'où
\[8642^{2468}\equiv 1[5]\]

et le reste de la divsion euclidienne par 5 est donc 1.

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Exercice 4: Produit multiple de 6, tableau de congruences

Soit $n$ un entier relatif. Montrer que l'entier $N=n(n+2)(7n-5)$ est toujours un multiple de 6.
(on pourra utiliser un tableau de congruences).

Correction exercice 4


On construit le tableau des congruences de $N$ selon celles de $n$ modulo 6:
\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $n\equiv \dots [6]$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\hline $n+2\equiv \dots [6]$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1\\\hline $7n-5\equiv \dots [6]$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0\\\hline $N\equiv\dots[6]$ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline \end{tabular}\]

Ainsi, dans tous les cas on a $N=n(n+2)(7n-5)\equiv0[6]$, ce qui signifie exactement que l'entier $N$ est un multiple de 6.

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Quelques autres devoirs




Voir aussi:
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