Théorème de Cayley pour une matrice 2x2

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp$.
Pour tout nombre réel $x$, on pose $P(x)=\det\left( A - xI_2\rp$, où $I_2$ est la matrice identité d'ordre 2.
  1. Donner l'expression de $P(x)$.
  2. Pour un polynôme $T(x)=ax^2+bx+c$ on associe le polynôme matriciel $T(X)=aX^2+bX+cI_2$ pour toute matrice carrée $X$.
    Calculer $P(A)$.



Correction

Correction

On a
\[\begin{array}{ll}A - xI_2&=\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp-x\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp\\[1.4em] &=\lp\begin{array}{cc}1-x&2\\3&4-x\enar\rp\enar\]

et donc
\[\begin{array}{ll}P(x)&=\det(A - xI_2)\\[.5em] &=(1-x)(4-x)-6\\[.5em] &=x^2-5x-2\enar\]


On calcule ensuite $P(A)$:
\[P(A)=A^2-5A-2I_2\]

avec
\[A^2=\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp= \lp\begin{array}{cc}7&10\\15&22\enar\rp\]

d'où
\[P(A)=\lp\begin{array}{cc}7&10\\15&22\enar\rp-5\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp-2\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp \]

et on trouve finalemnt la matrice nulle:
\[P(A)=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp\]



Remarque: le polynôme $P$ s'appelle le polynôme caractéristique de la matrice $A$, et la propriété $P(A)=0$ est le théorème de Cayley-Hamilton


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