Puissance d'une matrice, par récurrence avec une formule explicite

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère la matrice carrée $A=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp$.
  1. Calculer $A^2$.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.



Correction

Correction


  1. \[\begin{array}{ll}A^2&=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}1&8\\0&9\enar\rp\enar\]

  2. On montre par récurrence la propriété , pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.
    Initialisation: Pour $n=1$, on a $\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&3^1-1\\0&3^1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp=A$.
    Ainsi, la propriété est vraie au rang $n=1$.

    Hérédité: Supposons que pour un entier $n\geqslant1$, on ait $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$ Alors, $A^{n+1}=A^nA=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&2+3(3^n-1)\\0&3^n\tm3\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&3^{n+1}-1\\0&3^{n+1}\enar\rp$
    et la propriété est donc encore vraie au rang suivant $n+1$.

    Concluison: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$


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