Calculs matriciels avec des matrices carrées 2x2

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit $A=\lp\begin{array}{cc}2&3\\-5&4\enar\rp$ et $B=\lp\begin{array}{cc}-1&-2\\3&-4\enar\rp$
  1. Calculer $(A+B)^2$.
  2. La matrice $A$ est-elle inversible ? Donner le cas échéant son inverse.
  3. Déterminer la matrice $X$ telle que $AX=\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$



Correction

Correction

  1. On a $A+B=\lp\begin{array}{cc}1&1\\2&0\enar\rp$ et donc
    \[\begin{array}{ll}(A+B)^2&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-2&0\enar\rp^2\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-2&0\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&1\\-2&0\enar\rp\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}-1&1\\-2&-2\enar\rp\enar\]

  2. On a $\det(A)=2\tm5-(-5)\tm3=23\not=0$ et la matrice $A$ est donc inversible avec
    \[A^{-1}=\dfrac1{23}\lp\begin{array}{cc}4&-3\\5&2\enar\rp\]

  3. En multipliant par l'inverse, on obtient $AX=\lp\begin{array}{cc}1\\2\enar\rp\iff A^{-1}AX=A^{-1}\lp\begin{array}{cc}1\\2\enar\rp$ soit, comme $A^{-1}AX=I_2X=X$,
    \[X=\dfrac1{23}\lp\begin{array}{cc}4&-3\\5&2\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1\\2\enar\rp =\dfrac1{23}\lp\begin{array}{cc}-2\\9\enar\right) \]



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