Diagonalisation et système de suites récurrentes

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère les matrices $A=\lp\begin{array}{cc}4&-6\\1&-1\enar\rp$ et $P=\lp\begin{array}{cc}3&2\\1&1\enar\rp$.
  1. Montrer que $P$ est inversible et donner sa matrice inverse $P^{-1}$.
  2. Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$.
  3. Calculer $D^2$, $D^3$ puis donner $D^n$ (sans justification supplémentaire).
  4. Donner l'expression de $A^n$ en fonction de $D$ et $P$, puis donner l'expression explicite de $A^n$ en fonction de $n$.
  5. On définit les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ par $x_0=1$ et $y_0=0$ puis par les relations de récurrence
    \[\la\begin{array}{lcl}x_{n+1}&=&4x_n-6y_n\\[.9em]y_{n+1}&=&x_n-y_n\enar\right.\]

    On pose de plus $U_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp$.
    1. Donner la relation entre $U_{n+1}$ et $U_n$, puis exprimer $U_n$ explicitement en fonction de $n$.
    2. Déterminer l'expression de $x_n$ et $y_n$



Correction

Correction

  1. On a $\det(P)=3\tm1-1\tm2=1\not=0$ et donc $P$ est bien inversible, d'inverse
    \[P^{-1}=\lp\begin{array}{cc}1&-2\\-1&3\enar\rp\]


  2. On calcule les deux produits, successivement,
    \[\begin{array}{ll}D&=P^{-1}AP\\ &=\lp\begin{array}{cc}1&-2\\-1&3\enar\right) \lp\begin{array}{cc}4&-6\\1&-1\enar\right) P\\[2em] &=\lp\begin{array}{cc}2&-4\\-1&3\enar\rp\lp\begin{array}{cc}3&2\\1&1\enar\rp\\[2em] &=\lp\begin{array}{cc}2&0\\0&1\enar\right) \enar\]

    et on trouve donc la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}2&0\\0&1\enar\rp$
  3. On calcule facilement le carré de la matrice
    \[D^2=\lp\begin{array}{cc}2^2&0\\0&1\enar\rp\]

    puis le cube
    \[D^3=\lp\begin{array}{cc}2^3&0\\[1em]0&1\enar\rp\]

    qu'on généralise aux autres puissances
    \[D^n=\lp\begin{array}{cc}2^n&0\\[1em]0&1\enar\rp\]


  4. On a la relation
    \[D=P^{-1}AP \iff PDP^{-1}=A\]

    et alors
    \[\begin{array}{ll}A^n&=\underbrace{A\,A\,A\,\dots\,A}_{n\ \text{termes}}\\[1.6em] &=PD\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}D\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP{-1}\dots\,\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP^{-1}\\[1.6em] &=PD^nP^{-1} \enar\]


    On effectue alors les produits matriciels pour obtenir l'expression explicite de la puissance n-ième de la matrice $A$:
    \[\begin{array}{ll}A^n&=PD^nP^{-1}\\ &=\lp\begin{array}{cc}3&2\\1&1\enar\right) \lp\begin{array}{cc}2^n&0\\0&1\enar\right) P^{-1}\\[2em] &=\lp\begin{array}{cc}3\tm2^n&2\\2^n&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&-2\\-1&3\enar\rp\\[2em] &=\lp\begin{array}{cc}3\tm2^n-2&-3\tm2^{n+1}-2\tm3\\2^n-1&-2^{n+1}+3\enar\right) \enar\]



    1. On pose $U_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp$, et alors on a $U_0=\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$ et les relations de récurrence s'écrivent matriciellement
      \[U_{n+1}=AU_n\]

      Il s'agit donc d'une suite géométrique, et on a directement pour tout entier $n$,
      \[U_n=A^nU_0\]


    2. Avec les calculs précédents, on trouve donc que
      \[\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}3\tm2^n-2&-3\tm2^{n+1}-2\tm3\\2^n-1&-2^{n+1}+3\enar\rp\lp\begin{array}{c}x_0\\y_0\enar\rp\]

      soit, avec $x_0=1$ et $y_0=0$,
      \[\la\begin{array}{ll} x_n&=3\tm2^n-2\\ y_n&=2^n-1 \enar\right.\]



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