Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: polynomes complexes},
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pdfkeywords={Mathématiques, maths expertes, terminale générale,
polynome, factorisation, complexes, nombres complexes, racine de l'unité}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
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\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Polyn\^omes complexes - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths - Maths expertes}}
\rfoot{\TITLE\ - Maths expertes - \thepage/\pageref{LastPage}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{2cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill\bgmp[b]{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp
\medskip
\ct{\Large\bf Factorisation dans $\mathbb{C}$ et racines de l'unité}
\bigskip
\bgex
\bgen[a)]
\item Résoudre $z^2-4z-5=0$. Factoriser ensuite $z^2-4z-5$.
\item Résoudre $z^2-4z+5=0$. %$(z-(2+i))(z-(2-i))=z^2-4z+5$
Factoriser ensuite $z^2-4z+5$.
\item \'Ecrire $z=-1$ sous forme exponentielle.
Donner alors trois nombres complexes $z$ tels que $z^3=-1$.
\item \'Ecrire sous forme exponentielle $z_0=\sqrt2+i\sqrt2$.
Résoudre alors $z^2=\sqrt2+i\sqrt2$.
\item Donner 4 nombres complexes $z$ tels que $z^4=1$.
\'Ecrire ces nombres sous forme exponentielle.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $P(z)=z^2+3z-4$.
Montrer que $1$ est une racine de $P$ et factoriser $P$ par $z-1$.
\item On considère l'équation $z^3+2z^2-z-2=0$. Vérifier que 1 est une solution, puis déterminer toutes les solutions de cette équation.
\item Soit $P(z)=2z^3+3z^2-z-2$. Montrer que $-1$ est une racine puis factoriser $P$.
\item Soit $P(z)=z^4-2z^3-z+2$. Montrer que 1 et 2 sont racines de $P$ puis factoriser $P$.
%$P(z)=(z-1)(z-2)(z^2+z+1)=(z^2-3z+2)(z^2+z+1)=z^4-2z^3-z+2$
\item Soit $P(z)=-2z^2+3z-2-3i$.
Montrer que $i$ est une racine de $P$ et factoriser $P$.% par $z-i$.
\item Soit $P(z)=z^3-8$.
Déterminer une racine réelle simple $a$ de $P$, puis factoriser $P$.% par $z-a$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Factoriser $z^3-i^3$ par $z-i$
\item Factoriser $z^4-1$ puis $z^5-1$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $P$ le polynôme défini par: $P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$.
\bgen
\item Calculer $P(i)$.
\item Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que
$P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$.
\item Déterminer alors toutes les racines du polyn\^ome $P$.
\enen
\enex
\bgex
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par
$P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$.
\bgen[a)]
\item Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ à coefficients réels
tel que $P(z)=(z^2+1)Q(z)$ pour tout nombre complexe $z$.
\vspd
\item En déduire toutes les racines dans $\R$, puis dans $\C$, du polynôme $P$.
\enen
\enex
\bgex
Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :
$P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$.
\vsp
\bgen[a)]
\item Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$.
\vsp
\item En déduire une factorisation de $P$, et déterminer alors toutes
les racines de $P$.
\enen
\enex
\bgex
Soit un nombre complexe $z$ tel que $z^2=3+4i$.
\bgen[a)]
\item Que vaut $|z|^2$ ?
\item Déterminer l'écriture algébrique du nombre $z$ recherché.
\enen
\enex
\clearpage
\bgex
On considère l'équation $(E): z^2+2iz-2=0$
\bgen[a)]
\item Développer $(z+i)^2$ et en déduire que l'équation $(E)$ est équivalente à
$(z+i)^2-1=0$.
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\item Déterminer directement les solutions de $(E)$ avec la formule générale sur le second degré complexe.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre les équations \
$(E_1): z^2+3z-4=0$ , \
$(E_2): z^2-(1+2i)z+(-3+i)=0$ ,
%\Delta=(1+2i)^2-4(-3+i)=9
\\[.4em]
\hspace*{2.8cm}$(E_3): z^2-(2-i)z+3-i = 0$ , \
%\Delta=(2-i)^2-4(3-i)=-9, donc \delta=3i ...
et \
$(E_4): z^2-(-1+4i)z-5-5i$
%\Delta=(-1+4i)^2-4(-5-5i)=5+12i
% on pose \delta=x+iy tel que \delta^2+\Delta=5+12i,
% alors |\delta|^2=x^2+y^2=\sqrt{5^2+12^2}=13
% et $\delta^2=\Delta\iff x^2-y^2=5 et 2xy=12
% On trouve $x=\pm3 et y=\pm2 et comme xy=6 on choisit x=3 et y=2
% d'où \delta=3+2i convient
% ensuite, z=(-b\pm\delta)/2a...
\enex
\bgex % ex 158 p38
Soit le polyn\^ome complexe $P$ défini par
$P(z)=z^3+(2-2i)z^2+(4-4i)z-8i$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $2i$ est une solution de l'équation $P(z)=0$.
\item Démontrer que $P(z)=(z-2i)(z^2+2z+4)$.
\item En déduire alors toutes les solutions de l'équation $P(z)=0$.
\enen
\enex
\bgex %ex 123 p33
Soit le polyn\^ome complexe $P$ défini par
$P(z)=z^3-(2+i\sqrt2)z^2+2(1+i\sqrt2)z-2i\sqrt2$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $z_0=i\sqrt2$ est une racine de $P$.
\item Factoriser alors $P$ et déterminer toutes les solutions de l'équation $P(z)=0$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Factoriser $z^3-1$ et en déduire toutes les solutions de l'équation $(E): z^3=1$.
\item On note $j$ la solution de $(E)$ dont la partie imaginaire est strictement positive.
\bgen[a)]
\item Donner la forme algébrique de $j$.
\item Démontrer les égalités suivantes: $j^3=1$ , \ $j^2+j+1=0$ , \ $j^2=\overline{j}$ , \ $\dfrac1j=\overline{j}$
\enen
\enen
\enex
\bgex
Résoudre les équations $z^3=1$, puis $z^4=1$.
% puis $z^5=1$ %z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1), non ...
\enex
\bgex
\bgen
\item Déterminer l'ensemble des racines 4-ième de l'unité, noté $\mathcal{U}_4$ puis tracer le polygone dont les sommets sont ces racines.
Calculer le périmètre de ce polygone.
\item Déterminer l'ensemble des racines 6-ième de l'unité, noté $\mathcal{U}_6$ puis tracer le polygone dont les sommets sont ces racines.
Calculer le périmètre de cet hexagone.
\enen
\enex
\bgex
\'Ecrire $a=5-5i\sqrt3$ sous forme exponentielle.
En déduire un nombre complexe $z$ tel que $z^4=a$.
\`A l'aide des racines 4-ième de l'unité, donner alors toutes les solutions de l'équations $z^4=a$.
\enex
\bgex
\bgen
\item On pose $\omega=e^{i\frac{2\pi}5}$
\bgen[a)]
\item Calculer $\omega^5$.
\item Factoriser $\omega^5-1$ par $\omega-1$.
En déduire que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$
\enen
\item Généralisation: on pose $\omega=e^{i\frac{2\pi}n}$ pour un entier naturel $n\geqslant2$.
Rappeler l'expression de la somme $S=\dsp\sum_{k=0}^p\omega^k$ pour un entier $p\geqslant1$
En déduire que $1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}=0$.
\enen
\enex
\bgex
Développer et simplifier l'expression $(x+1)^4-(x-1)^4$. \\ %=8x^3+8x
En déduire la valeur exacte de $1001^4-999^4$. %=8x1000^3+8x1000 = 8 000 008 000
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item En utilisant la formule du bin\^ome de Newton, écrire la forme algébrique de $(1+i)^4$.
\item Retrouver ce résultat en utilisant la forme exponentielle de $1+i$.
\enen
\enex
\bgex
On considère le polyn\^ome $P(x)=(2x-3)^8$.
\bgen[a)]
\item Quel est le terme de plus haut degré de $P$ ?
\item Quel est le terme constant de $P$ ?
\item Quel est le coefficient de $x^6$ dans $P(x)$ ?
\enen
\enex
\bgex
Pour quelle(s) valeur(s) du réel $a$ le nombre complexe $(a+i)^3$ est-il imaginaire pur ?
\enex
\bgex
En utilisant la formule du bin\^ome de Newton, calculer les sommes \\
\hspace*{3cm}
$S_1=\dsp\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k$,
$S_2=\dsp\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$ et
$S_3=\dsp\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}$.
\enex
\bgex
Calculer la somme $S=\dsp\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}$.
\medskip
\textit{(Indice: on pourra dériver de deux manières différentes la fonction $f$ définie par $f(x)=(1+x)^n$.)}
\enex
\bgex
Soit la matrice $A=\lp\bgar{cc}a&b\\0&a\enar\rp$, avec $a$ et $b$ deux réels. \\
Trouver toutes les matrices carrées $B$ qui commutent avec $A$, c'est-à-dire telles que $AB=BA$.
\enex
\bgex
Soit la matrice $A=\lp\bgar{cc}3&5\\0&3\enar\rp$, et $B$ la matrice telle que
$A=3I_2+B$.\\[.3em]
Donner la matrice $B$, puis $B^2$ et $B^3$ puis $B^n$ pour tout entier $n$.
En déduire $A^n$ pour tout entier $n$.
\enex
\bgex
Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$ et $B=A-I_3$, où $I$ est la matrice identité.\\[.3em]
Calculer $B^n$ pour tout $n\in\N$. En déduire la matrice $A^n$ en fonction de l'entier $n$.
\enex
\bgex
Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\2&0&4\\0&3&0\enar\rp$.
On note $U=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&4\\0&0&0\enar\rp$ et $L=A-U$.
Calculer $U^n$ et $L^n$ pour tout entier $n$.
En déduire la matrice $A^n$ en fonction de l'entier $n$.
\enex
\bgex
Soit la matrice $A=\lp\bgar{cc}2&1\\0&1\enar\rp$, et $B$ la matrice telle que
$A=I_2+B$.
\bgen[a)]
\item Calculer $A^2$ et $A^3$.
\item Calculer la somme $S=\dsp\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$.
\item Calculer $B^2$ et en déduire $B^n$ pour tout entier $n$.
\item Exprimer alors $A^n$. Vérifier bien s\^ur la formule trouvée avec les résultats du ).
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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