Source Latex: Cours de mathématiques, Polynômes complexes - Factorisation - Racines de l'unité
Terminale générale, maths expertes
Polynômes complexes - Factorisation - Racines de l'unité
Exercices de mathématiques: Polynômes complexes, factorisation des polynômes et racines de l'unité- Fichier
- Type: Cours
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- Description
- Exercices de mathématiques: Polynômes complexes, factorisation des polynômes et racines de l'unité
- Niveau
- Terminale générale, maths expertes
- Mots clé
- Exerccies de mathématiques, polynômes complexes, nombres complexes, factoisation, division euclidienne des polynômes, racines de l'unité
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Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths - Maths expertes}} \rfoot{\TITLE\ - Maths expertes - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} %\vspace*{2cm} \hfill{\Large \bf \TITLE} \hfill\bgmp[b]{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp \medskip \ct{\Large\bf Factorisation dans $\mathbb{C}$ et racines de l'unité} \bigskip \bgex \bgen[a)] \item Résoudre $z^2-4z-5=0$. Factoriser ensuite $z^2-4z-5$. \item Résoudre $z^2-4z+5=0$. %$(z-(2+i))(z-(2-i))=z^2-4z+5$ Factoriser ensuite $z^2-4z+5$. \item \'Ecrire $z=-1$ sous forme exponentielle. Donner alors trois nombres complexes $z$ tels que $z^3=-1$. \item \'Ecrire sous forme exponentielle $z_0=\sqrt2+i\sqrt2$. Résoudre alors $z^2=\sqrt2+i\sqrt2$. \item Donner 4 nombres complexes $z$ tels que $z^4=1$. \'Ecrire ces nombres sous forme exponentielle. \enen \enex \bgex \bgen \item Soit $P(z)=z^2+3z-4$. Montrer que $1$ est une racine de $P$ et factoriser $P$ par $z-1$. \item On considère l'équation $z^3+2z^2-z-2=0$. Vérifier que 1 est une solution, puis déterminer toutes les solutions de cette équation. \item Soit $P(z)=2z^3+3z^2-z-2$. Montrer que $-1$ est une racine puis factoriser $P$. \item Soit $P(z)=z^4-2z^3-z+2$. Montrer que 1 et 2 sont racines de $P$ puis factoriser $P$. %$P(z)=(z-1)(z-2)(z^2+z+1)=(z^2-3z+2)(z^2+z+1)=z^4-2z^3-z+2$ \item Soit $P(z)=-2z^2+3z-2-3i$. Montrer que $i$ est une racine de $P$ et factoriser $P$.% par $z-i$. \item Soit $P(z)=z^3-8$. Déterminer une racine réelle simple $a$ de $P$, puis factoriser $P$.% par $z-a$. \enen \enex \bgex \bgen[a)] \item Factoriser $z^3-i^3$ par $z-i$ \item Factoriser $z^4-1$ puis $z^5-1$. \enen \enex \bgex Soit $P$ le polynôme défini par: $P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$. \bgen \item Calculer $P(i)$. \item Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que $P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$. \item Déterminer alors toutes les racines du polyn\^ome $P$. \enen \enex \bgex On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par $P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$. \bgen[a)] \item Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ à coefficients réels tel que $P(z)=(z^2+1)Q(z)$ pour tout nombre complexe $z$. \vspd \item En déduire toutes les racines dans $\R$, puis dans $\C$, du polynôme $P$. \enen \enex \bgex Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par : $P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$. \vsp \bgen[a)] \item Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$. \vsp \item En déduire une factorisation de $P$, et déterminer alors toutes les racines de $P$. \enen \enex \bgex Soit un nombre complexe $z$ tel que $z^2=3+4i$. \bgen[a)] \item Que vaut $|z|^2$ ? \item Déterminer l'écriture algébrique du nombre $z$ recherché. \enen \enex \clearpage \bgex On considère l'équation $(E): z^2+2iz-2=0$ \bgen[a)] \item Développer $(z+i)^2$ et en déduire que l'équation $(E)$ est équivalente à $(z+i)^2-1=0$. \item En déduire les solutions de $(E)$. \item Déterminer directement les solutions de $(E)$ avec la formule générale sur le second degré complexe. \enen \enex \bgex Résoudre les équations \ $(E_1): z^2+3z-4=0$ , \ $(E_2): z^2-(1+2i)z+(-3+i)=0$ , %\Delta=(1+2i)^2-4(-3+i)=9 \\[.4em] \hspace*{2.8cm}$(E_3): z^2-(2-i)z+3-i = 0$ , \ %\Delta=(2-i)^2-4(3-i)=-9, donc \delta=3i ... et \ $(E_4): z^2-(-1+4i)z-5-5i$ %\Delta=(-1+4i)^2-4(-5-5i)=5+12i % on pose \delta=x+iy tel que \delta^2+\Delta=5+12i, % alors |\delta|^2=x^2+y^2=\sqrt{5^2+12^2}=13 % et $\delta^2=\Delta\iff x^2-y^2=5 et 2xy=12 % On trouve $x=\pm3 et y=\pm2 et comme xy=6 on choisit x=3 et y=2 % d'où \delta=3+2i convient % ensuite, z=(-b\pm\delta)/2a... \enex \bgex % ex 158 p38 Soit le polyn\^ome complexe $P$ défini par $P(z)=z^3+(2-2i)z^2+(4-4i)z-8i$. \bgen[a)] \item Montrer que $2i$ est une solution de l'équation $P(z)=0$. \item Démontrer que $P(z)=(z-2i)(z^2+2z+4)$. \item En déduire alors toutes les solutions de l'équation $P(z)=0$. \enen \enex \bgex %ex 123 p33 Soit le polyn\^ome complexe $P$ défini par $P(z)=z^3-(2+i\sqrt2)z^2+2(1+i\sqrt2)z-2i\sqrt2$. \bgen[a)] \item Montrer que $z_0=i\sqrt2$ est une racine de $P$. \item Factoriser alors $P$ et déterminer toutes les solutions de l'équation $P(z)=0$. \enen \enex \bgex \bgen \item Factoriser $z^3-1$ et en déduire toutes les solutions de l'équation $(E): z^3=1$. \item On note $j$ la solution de $(E)$ dont la partie imaginaire est strictement positive. \bgen[a)] \item Donner la forme algébrique de $j$. \item Démontrer les égalités suivantes: $j^3=1$ , \ $j^2+j+1=0$ , \ $j^2=\overline{j}$ , \ $\dfrac1j=\overline{j}$ \enen \enen \enex \bgex Résoudre les équations $z^3=1$, puis $z^4=1$. % puis $z^5=1$ %z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1), non ... \enex \bgex \bgen \item Déterminer l'ensemble des racines 4-ième de l'unité, noté $\mathcal{U}_4$ puis tracer le polygone dont les sommets sont ces racines. Calculer le périmètre de ce polygone. \item Déterminer l'ensemble des racines 6-ième de l'unité, noté $\mathcal{U}_6$ puis tracer le polygone dont les sommets sont ces racines. Calculer le périmètre de cet hexagone. \enen \enex \bgex \'Ecrire $a=5-5i\sqrt3$ sous forme exponentielle. En déduire un nombre complexe $z$ tel que $z^4=a$. \`A l'aide des racines 4-ième de l'unité, donner alors toutes les solutions de l'équations $z^4=a$. \enex \bgex \bgen \item On pose $\omega=e^{i\frac{2\pi}5}$ \bgen[a)] \item Calculer $\omega^5$. \item Factoriser $\omega^5-1$ par $\omega-1$. En déduire que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$ \enen \item Généralisation: on pose $\omega=e^{i\frac{2\pi}n}$ pour un entier naturel $n\geqslant2$. Rappeler l'expression de la somme $S=\dsp\sum_{k=0}^p\omega^k$ pour un entier $p\geqslant1$ En déduire que $1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}=0$. \enen \enex \bgex Développer et simplifier l'expression $(x+1)^4-(x-1)^4$. \\ %=8x^3+8x En déduire la valeur exacte de $1001^4-999^4$. %=8x1000^3+8x1000 = 8 000 008 000 \enex \bgex \bgen[a)] \item En utilisant la formule du bin\^ome de Newton, écrire la forme algébrique de $(1+i)^4$. \item Retrouver ce résultat en utilisant la forme exponentielle de $1+i$. \enen \enex \bgex On considère le polyn\^ome $P(x)=(2x-3)^8$. \bgen[a)] \item Quel est le terme de plus haut degré de $P$ ? \item Quel est le terme constant de $P$ ? \item Quel est le coefficient de $x^6$ dans $P(x)$ ? \enen \enex \bgex Pour quelle(s) valeur(s) du réel $a$ le nombre complexe $(a+i)^3$ est-il imaginaire pur ? \enex \bgex En utilisant la formule du bin\^ome de Newton, calculer les sommes \\ \hspace*{3cm} $S_1=\dsp\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k$, $S_2=\dsp\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$ et $S_3=\dsp\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}$. \enex \bgex Calculer la somme $S=\dsp\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}$. \medskip \textit{(Indice: on pourra dériver de deux manières différentes la fonction $f$ définie par $f(x)=(1+x)^n$.)} \enex \bgex Soit la matrice $A=\lp\bgar{cc}a&b\\0&a\enar\rp$, avec $a$ et $b$ deux réels. \\ Trouver toutes les matrices carrées $B$ qui commutent avec $A$, c'est-à-dire telles que $AB=BA$. \enex \bgex Soit la matrice $A=\lp\bgar{cc}3&5\\0&3\enar\rp$, et $B$ la matrice telle que $A=3I_2+B$.\\[.3em] Donner la matrice $B$, puis $B^2$ et $B^3$ puis $B^n$ pour tout entier $n$. En déduire $A^n$ pour tout entier $n$. \enex \bgex Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$ et $B=A-I_3$, où $I$ est la matrice identité.\\[.3em] Calculer $B^n$ pour tout $n\in\N$. En déduire la matrice $A^n$ en fonction de l'entier $n$. \enex \bgex Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\2&0&4\\0&3&0\enar\rp$. On note $U=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&4\\0&0&0\enar\rp$ et $L=A-U$. Calculer $U^n$ et $L^n$ pour tout entier $n$. En déduire la matrice $A^n$ en fonction de l'entier $n$. \enex \bgex Soit la matrice $A=\lp\bgar{cc}2&1\\0&1\enar\rp$, et $B$ la matrice telle que $A=I_2+B$. \bgen[a)] \item Calculer $A^2$ et $A^3$. \item Calculer la somme $S=\dsp\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$. \item Calculer $B^2$ et en déduire $B^n$ pour tout entier $n$. \item Exprimer alors $A^n$. Vérifier bien s\^ur la formule trouvée avec les résultats du ). \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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Quelques devoirs
sur la factorisation et racines d'un polynôme complexe et matrices et calcul matriciel, diagonalisation et limites de suites
sur binôme de Newton et les racines de l'unité. Calcul de la puissance n-ième d'une matrice
sur les nombres complexes et polynômes. Résolution d'une éuqation complexe. Racine d'un polynôme et factorisation du polynôme. Quotients et restes de division euclidienne. Divisiblité par 8
d'arithmétique (division euclidienne et congruences) et factorisation des polynômes complexes.
Quelques exercices corrigés
Exercices corrigés
Second degré complexe
Exercices corrigés
Factorisation et racines d'un polynôme du 3ème degré
Exercices corrigés
Factorisation et racines d'un polynôme du 4ème degré
Exercices corrigés
Recherche d'une racine et factorisation d'un polynôme du 3ème degré
Exercices corrigés
Petit binôme de Newton pour un complexe