Factorisation et racines d'un polynôme du 3ème degré

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère le polynôme $P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$
  1. Calculer $P(i)$ et en déduire une factorisation de $P$.
  2. Calculer toutes les racines de $P$.



Correction

Correction

$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$
  1. On a
    \[\begin{array}{ll}P(i)&=i^3-(2+i)i^2+2(1+i)i-2i\\ &=-i+(2+i)+2i-2-2i\\ &=0 \enar\]

    ce qui signifie que $i$ est une racine du polynôme $P$ et donc que celui-ci se factorise par $(z-i)$, c'est-à-dire
    \[P(z)=(z-i)Q(z)\]

    Le polynôme $Q$ est ici de degré au plus 2, et on peut le déterminer par identification ou avec une division euclidienne.

    Division euclidienne:
    \[\begin{array}{ll}z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i &\psline(-.1,.3)(-.1,-3.6) z-i\\ z^3-iz^2 &\psline(0,.4)(2,.4) z^2-2z+2 \\[.4em] \psline(0,.5)(2.5,.5) \hspace*{3.8em}-2z^2+2(1+i)z\\ \hspace*{3.8em}-2z^2+2iz\\[.4em] \psline(1.4,.5)(4.5,.5) \hspace*{10.2em}2z-2i\\ \hspace*{10.2em}2z-2i\\[.4em] \psline(4,.5)(5.6,.5) \hspace*{12.6em}0\enar\]

    ce qui nous donne donc la factorisation
    \[P(z)=(z-i)(z^2-2z+2)\]



    Identification: Comme le polynôme $Q$ recherché est de degré 2, il s'écrit sous la forme $Q(z)=az^2+bz+c$ et il reste à déterminer ses trois coefficients.
    On développe la factorisation recherchée:
    \[\begin{array}{ll}P(z)&=(z-i)(az^2+bz+c)\\ &=az^3+(b-ai)z^2+(c-bi)z-ci \enar\]

    et comme il s'agit toujours du même polynôme
    \[P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i\]

    on identifie les coefficients
    \[\la\begin{array}{ll}a=1\\ b-ai=-(2+i)\\ c-bi=2(1+i)\\ -ci=-2i\enar\right.\]

    ce qui nous donne les coefficients:
    \[\la\begin{array}{ll} a&=1\\ b&=-2\\ c&=2 \enar\right.\]

    et on a donc trouvé la factorisation
    \[P(z)=(z-i)(z^2-2z+2)\]


  2. On cherche alors toutes les racines de $P$, c'est-à-dire les solutions de l'équation $P(z)=0$, soit, pour le produit nul,
    \[z-i=0\iff z=i\]

    soit
    \[z^2-2z+2=0\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-4<0$ et admet donc deux racines complexes conjuguées, $z_1=\dfrac{2-i\sqrt4}2=1-i$ et $z_2=\overline{z_1}=1+i$.

    En résumé, le polynôme $P$ admet trois racines $i$, $1-i$ et $1+i$.


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