Second degré complexe

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

  1. Déterminer un nombre complexe dont le carré est $2i$.
  2. Déterminer les racines du polynôme $P(z)=z^2+(3+i)z+2+i$.



Correction

Correction

  1. On cherche $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$, tel que
    \[\begin{array}{ll}z^2=(x+iy)^2=2i\\ \iff (x^2-y^2)+2ixy=2i\enar\]

    soit, par identification des parties réelles et imaginaires,
    \[\la\begin{array}{ll}x^2-y^2=1\\2xy=2\enar\right. \iff\la\begin{array}{ll}x^2=y^2\\xy=1\enar\right.\]

    La première équation nous donne $x=y$ ou $x=-y$.
    Ensuite, par exemple pour $x=y$, la deuxième équation se réécrit $xy=x^2=1$ d'où $x=y=\pm1$.
    Un nombre complexe qui convient est donc par exemple $z=1+i$.
  2. $P$ est un trinôme du second degré dont le discriminant vaut
    \[\Delta=(3+i)^2-4(2+i)=2i\]

    D'après la question précédente, on a $\delta=1+i$ tel que $\delta^2=\Delta$, et alors les deux racines de $P$ sont
    \[z_1=\dfrac{-(3+i)-(1+i)}2=-2-i\]

    et
    \[z_2=\dfrac{-(3+i)+(1+i)}2=-1\]


    (et on vérifie bien que la racine (évidente ?) -1 convient bien...)


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