Recherche d'une racine et factorisation d'un polynôme du 3ème degré

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère le polynôme défini sur $\C$ par $P(z)=z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i$
  1. Rechercher une racine imaginaire pure de $P$ sous la forme $ai$.
  2. Factoriser alors $P$ et déterminer toutes ses racines.



Correction

Correction

$P(z)=z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i$
  1. On calcule
    \[\begin{array}{ll}P(ai)&=(ai)^3+(1+i)(ai)^2+(i-1)(ai)-i\\ &=-a^3i-(1+i)a^2-a-ai-i \enar\]

    On écrit ce nombre complexe sous la forme algébrique
    \[P(ai)=(-a^2-a)+i\lp-a^3-a^2-a-1\rp\]

    et on identifie donc
    \[P(ai)=0\iff\la\begin{array}{ll}-a^2-a=0\\-a^3-a^2-a-1=0\enar\right.\]

    La première équation donne
    \[a(a+1)=0\iff a=0 \text{ ou } a=-1\]

    $a=0$ n'est clairement pas solution de la deuxième équation, par contre $a=-1$ convient.
    Ainsi, $-i$ est une racine imaginaire pure du polynôme $P$.
  2. On en déduit que $P$ se factorise par $(z+i)$, c'est-à-dire
    \[P(z)=(z+i)Q(z)\]

    Le polynôme $Q$ est ici de degré au plus 2, et on peut le déterminer par identification ou avec une division euclidienne.

    Division euclidienne:
    \[\begin{array}{ll} z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i &\psline(-.1,.3)(-.1,-3.6) z+i\\ z^3+iz^2 &\psline(0,.4)(2,.4) z^2+z-1 \\[.4em] \psline(0,.5)(2.5,.5) \hspace*{5em}z^2+(i-1)z-i\\ \hspace*{5em}z^2+iz\\[.4em] \psline(2,.5)(5.2,.5) \hspace*{9.3em}-z-i\\ \hspace*{9.3em}-z-i\\[.4em] \psline(4,.5)(5.2,.5) \hspace*{11.6em}0\enar\]

    ce qui nous donne donc la factorisation
    \[P(z)=(z+i)(z^2+z-1)\]



    Identification: Comme le polynôme $Q$ recherché est de degré 2, il s'écrit sous la forme $Q(z)=az^2+bz+c$ et il reste à déterminer ses trois coefficients.
    On développe la factorisation recherchée:
    \[\begin{array}{ll}P(z)&=(z+i)(az^2+bz+c)\\ &=az^3+(b+ai)z^2+(c+bi)z+ci \enar\]

    et comme il s'agit toujours du même polynôme
    \[P(z)=z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i\]

    on identifie les coefficients
    \[\la\begin{array}{ll}a=1\\ b+ai=1+i\\ c+bi=i-1\\ ci=-i\enar\right.\]

    ce qui nous donne les coefficients:
    \[\la\begin{array}{ll} a&=1\\ b&=1\\ c&=-1 \enar\right.\]

    et on a donc trouvé la factorisation
    \[P(z)=(z+i)(z^2+z-1)\]


  3. On cherche alors toutes les racines de $P$, c'est-à-dire les solutions de l'équation $P(z)=0$, soit, pour le produit nul,
    \[z+i=0\iff z=-i\]

    soit
    \[z^2+z-1=0\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=5>0$ et admet donc deux racines réelles, $z_1=\dfrac{-1-\sqrt5}2$ et $z_2=\dfrac{-1+\sqrt5}2$.

    En résumé, le polynôme $P$ admet trois racines
    \[\la-i;\dfrac{-1-\sqrt5}2;\dfrac{-1+\sqrt5}2\ra\]



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