Intégration et calcul intégral: annales de bac et corrections
Terminale générale, spécialité mathématiques
Annales de bac: sujets et corrigés d'exercices posés au baccalauréat en mathématiques sur les intégrales
Exercice 1: Bac 2022: QCM, limite, convexité, primitive
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes
Cacher la correction
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes
- La courbe représentative de la fonction
définie sur
par
admet pour asymptote la droite d'équation:
a.
b.
c.
d.
- Soit
la fonction définie sur
par
.
La primitivede
sur
qui vérifie
est définie par :
a.
b.
c.;
d.
- On donne ci-contre la représentation graphique
de la fonction dérivée
d'une fonction
définie sur
.
On peut affirmer que la fonctionest :
a. concave sur
b. convexe sur
c. convexe sur [0 ; 2]
d. convexe sur
- Parmi les primitives de la fonction
définie sur
par
:
a. toutes sont croissantes sur
b. toutes sont décroissantes sur
c. certaines sont croissantes suret d'autres décroissantes sur
d. toutes sont croissantes suret décroissantes sur
- La limite en
de la fonction
définie sur l'intervalle
par
est égale à :
a.;
b.;
c.
d.
- L'équation
admet dans
:
a. trois solutions;
b. deux solutions;
c. une seule solution;
d. aucune solution.
Correction exercice 1
- c.
On a
d'où
et donc la droite d'équationest asymptote.
- d.
On peut par exemple dériver chacune des propositions, seule la b. et la d. convienne.
Comme on veut de plus que, seule la réponse d. convient finalement.
- c.
Une fonction est convexe lorsque sa dérivée est croissante (et donc dérivée seconde positive).
Ici on peut conjecturer que la fonction est convexe surenviron, et donc en particulier sur
.
- a.
Les primitives
de
vérifient
. En particulier, comme
sur
, on a
et donc
est nécessairement strictement croissante sur
.
- d.
On a
avec, par croissances comparées
et donc
- c.
On poseet alors l'équation se réécrit
c'est une équation du second degré de discriminantqui admet donc deux solutions réelles distinctes
et
.
On revient alors à l'équation de départ:-
qui est impossible, car
pour tout réel
-
.
-
Cacher la correction
Exercice 2: Bac 2019, Métropole: Intégrale gaussienne, et méthode de Monté Carlo
On donne ci-dessous la représentation graphique
dans un repère orthogonal d'une fonction
définie et continue sur
.
La courbe
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
et se situe dans le demi-plan
.
(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/6.png)
Pour tout
on pose:
![\[G(t)=\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/8.png)
Partie A
Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
Dans la suite du problème, la fonction
est définie sur
par
.
Partie B
Partie C
On rappelle que la fonction
est définie sur
par
et que la fonction
est définie sur
par :
![\[G(t) =\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/68.png)
On se propose de déterminer une majoration de
pour
.
(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
\psline(1,0)(0,0)}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=2pt](0,0)(0,1)(0.5,1)(0.5,0.8)(1,0.8)(1,0)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre_c/1.png)
Partie B
Partie C
Cacher la correction





(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/6.png)
Pour tout

![\[G(t)=\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/8.png)
Partie A
Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
- La fonction
est-elle croissante sur
? Justifier.
- Justifier graphiquement l'inégalité
.
- La fonction
est-elle positive sur
? Justifier.
Dans la suite du problème, la fonction



Partie B
- Étude de
- Déterminer les limites de la fonction
aux bornes de son ensemble de définition.
- Calculer la fonction dérivée de
et en déduire le tableau de variations de
sur
.
- Préciser le maximum de
sur
. En déduire que
.
- Déterminer les limites de la fonction
- On note
l'ensemble des points
situés entre la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
et
. On appelle
l'aire de cet ensemble.
On rappelle que:
On souhaite estimer l'airepar la méthode dite "de Monte-Carlo" décrite ci-dessous.
- On choisit un point
en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées
et
selon la loi uniforme sur l'intervalle
. On admet que la probabilité que le point
appartienne à l'ensemble
est égale à
.
- On répète
fois l'expérience du choix d'un point
au hasard. On compte le nombre
de points appartenant à l'ensemble
parmi les
points obtenus.
- La fréquence
est une estimation de la valeur de
.
- La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour
. Déterminer la valeur de
correspondant à ce graphique.
- L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise
la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur
du nombre
. Recopier et compléter cet algorithme.
,
et
sont des nombres réels,
,
et
sont des entiers naturels.
ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entreet
.
- Une exécution de l'algorithme pour
donne
. En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la valeur exacte de
.
- On choisit un point
Partie C
On rappelle que la fonction





![\[G(t) =\int_0^t g(u) du\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre/68.png)
On se propose de déterminer une majoration de


- Un résultat préliminaire.
On admet que, pour tout réel, on a
.
En déduire que, pour tout réel, on a :
- Montrer que, pour tout réel
,
Que peut-on dire de la limite éventuelle delorsque
tend vers
?
Correction exercice 2
(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
\psline(1,0)(0,0)}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=2pt](0,0)(0,1)(0.5,1)(0.5,0.8)(1,0.8)(1,0)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2019-Metropole-septembre_c/1.png)
- La fonction
est l'intégrale d'une fonction positive et est donc croissante sur l'intervalle
.
Algébriquement, on sait queest la primitive de
qui s'annule en 1. On a donc en particulier
avec
d'après le graphique. Ainsi,
et
est croissante sur
.
-
est égale à l'aire, en unités d'aire, de la surface hachurée sur le graphique. Cette aire est inférieure à celle des deux rectangles tracés en rouge, dont l'aire vaut
, et on a donc ainsi
.
- Comme
on a, par positivité de l'intégrale, que pour tout
,
Ainsi, pout tout,
.
Par contre, si, alors
.
Ainsi,est négative sur
et positive sur
.
Partie B
-
- Comme
, on a par composition des limites,
,
c'est-à-dire
-
est dérivable sur
comme composée de la fonction exponentielle et de la fonction carré, toutes deux dérivables sur
, avec,
.
Comme pour tout réel, on a
, on a donc
- Comme trouvé dans le tableau de variation précédent,
atteint son maximum en
, et qui vaut
. Ceci signifie aussi que pour tout réel
on a
, et en particulier pour
, on a
.
- Comme
-
- On compte 23 points au dessus de la courbe, donc 77 en dessous,
et donc
.
-
- Pour
et
, l'intervalle de confiance de la valeur exacte de
, au niveau de confiance de 95 %, est
- On compte 23 points au dessus de la courbe, donc 77 en dessous,
et donc
Partie C
- Comme l'intégrale conserve l'ordre, on a
ce ui nous donne le résultat cherché car
- On a, en utilisant la relation de Chasles,
Or, on a vu queet par ailleurs, dans la question précédente, que
, d'où par somme:
Comme, si la limite de
lorsque
tend vers
existe, alors elle est inférieure ou égale à 2.
Cacher la correction
Exercice 3: Bac 2016, Amérique du nord: Un récupérateur d'eau: logarithme, tangente, primitive, intégrale, TVI et algorithme: dichotomie
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau.
Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des
charges suivant:
Cette cuve est schématisée ci-dessous.
![$$(-1.8,-0.5)(7,5)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7)
\rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}}
\psline(2.1,2.7)(5.4,2)
\psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7)
\psline(2,1.8)(5.4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05)
\uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/1.png)
La partie incurvée est modélisée par la courbe
de la
fonction
sur l'intervalle
définie par:
![\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/5.png)
La courbe
est représentée ci-dessous dans un repère
orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points
,
et
.
(-0.2,-0.25)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5)
\uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psdots(2,2)(5.437,2)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub}
\uput[u](2,2){$A$}
\uput[u](5.437,2){$B$}
\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](2,0){$I$}
\uput[dr](3.437,0){$D$}
\rput(1,1){Terrain}
\rput(3.2,1.2){Cuve}
\rput(4.7,0.5){Terrain}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2)
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/10.png)
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
Partie B  Pour tout réel
compris
entre
et
, on note
le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est
égale à
.
On admet que, pour tout réel
de l'intervalle [2 ; 2e],
![\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/49.png)
{\n}}
}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75)
\psline(5.08,1.75)(2,1.5)
}
\pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95)
\psline(2,1.85)(2,1.5)
\psline(0.35,2.7)(0.35,2.3)
\pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37)
\uput[d](5.2,0.3){$x$}
\uput[l](0,1.37){$f(x)$}
\multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/50.png)
Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016 6 points
Partie A 
Partie B
Cacher la correction
- elle doit être située à deux mètres de sa maison;
- la profondeur maximale doit être de deux mètres;
- elle doit mesurer cinq mètres de long;
- elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
Cette cuve est schématisée ci-dessous.
![$$(-1.8,-0.5)(7,5)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7)
\rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}}
\psline(2.1,2.7)(5.4,2)
\psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7)
\psline(2,1.8)(5.4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05)
\uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/1.png)
La partie incurvée est modélisée par la courbe


![$[2;2e]$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/4.png)
![\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/5.png)
La courbe

On considère les points



(-0.2,-0.25)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5)
\uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psdots(2,2)(5.437,2)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub}
\uput[u](2,2){$A$}
\uput[u](5.437,2){$B$}
\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](2,0){$I$}
\uput[dr](3.437,0){$D$}
\rput(1,1){Terrain}
\rput(3.2,1.2){Cuve}
\rput(4.7,0.5){Terrain}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2)
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/10.png)
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
- Justifier que les points
et
appartiennent à la courbe
et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe
au point
.
- On note
la tangente à la courbe
au point
, et
le point d'intersection de la droite
avec l'axe des abscisses.
- Déterminer une équation de la droite
et en déduire les coordonnées de
.
- On appelle
l'aire du domaine délimité par la courbe
, les droites d'équations
,
et
.
peut être encadrée par l'aire du triangle
et celle du trapèze
.
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
- Déterminer une équation de la droite
-
- Montrer que, sur l'intervalle
, la fonction
définie par
est une primitive de la fonctiondéfinie par
.
- En déduire une primitive
de la fonction
sur l'intervalle
.
- Déterminer la valeur exacte de l'aire
et en déduire une valeur approchée du volume
de la cuve au m3 près.
- Montrer que, sur l'intervalle
Partie B  Pour tout réel





On admet que, pour tout réel

![\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/49.png)
{\n}}
}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75)
\psline(5.08,1.75)(2,1.5)
}
\pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95)
\psline(2,1.85)(2,1.5)
\psline(0.35,2.7)(0.35,2.3)
\pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37)
\uput[d](5.2,0.3){$x$}
\uput[l](0,1.37){$f(x)$}
\multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2016-Amerique-du-nord-juin/50.png)
- Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
- On rappelle que
est le volume total de la cuve,
est la fonction définie en début d'exercice et
la fonction définie dans la partie B.
On considère l'algorithme ci-dessous.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
Correction exercice 3
Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016 6 points
Partie A 
- On a
, car
, et donc
.
De même,, car
, et donc
.
De plus, enle coefficient directeur de la tangente à
est
.
On a, pour tout,
, soit
, avec
, donc
,
, donc
, et
, donc
.
On a alors,, soit
.
Ainsi, la tangente àen
a pour coefficient directeur
et passe par
: c'est l'axe des abscisses.
-
- Une équation de
est:
, avec
et
, d'où
.
On a alorsavec
. Ainsi,
.
- L'aire de
, trangle rectangle en
, est
et l'aire du trapèzeest
.
Ainsi le volumede la cuve est tel que
soit approximativement
- Une équation de
-
- On a
avec
, donc
,
, donc
, et
, donc
.
On a alors,, soit
ce qui montre queest bien une primitive de
.
- On en déduit qu'une primitive de
définie par
est donnée par
- On peut alors calculer l'intégrale:
avec, et
, donc
et on en déduit le volume de la cuve:.
- On a
Partie B
- Le volume est
avec
tel que
. On cherche donc à résoudre l'équation
, avec
.
On ne sait pas résoudre excactement cette équation. On peut par contre le faire de manière approchée, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
On sait que, d'après A.1. et donc, comme
est strictement croissante sur
, que pour tout
,
.
Ainsiest strictement croissante sur
, avec de plus
et
. On en déduit, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), qu'il existe une unique solution
à l'équation
.
Avec la calculatrice (à l'aide d'un tableau de valeurs, ou par dichotomie par exemple), on trouve, et alors le volume est de
.
- Cet algorithme est un algorithme de recherche par dichotomie.
Il permet de chercher les valeurs d'un encadrementpour lequel la hauteur
correspond à la moitié de la cuve.
Cet encadrement permet d'avoir un résultat précis àprès.
Cacher la correction
Exercice 4: Bac 2015: Skateparc: fonction avec logarithme, pentes, dérivées, primitive, intégrale, algorithme
![]() |
Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères ![]() ![]() ![]() Le plan de face ![]() L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, ![]() ![]() |
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction

![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/9.png)

On note




Partie 1
|
![]() |
4. On admet que la fonction

![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/25.png)

a pour dérivée la fonction

![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/28.png)

Déterminer une primitive de la fonction

![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/31.png)
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
- Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
- [
:] La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
- [
:] L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en
qu'en
.
- [
- On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de
par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
-
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les pointspour
variant de 0 à 20.
Ainsi,.
On décide d'approcher l'arc de la courbeallant de
à
par le segment
.
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type(voir figure).
- Montrer que pour tout entier
variant de 0 à 19,
.
- Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
- Montrer que pour tout entier
Correction exercice 4
Partie 1
-
avec
, donc
,
, donc
soit
et
donc
.
On a alors, soit
.
-
, par croissance de la fonction exponentielle, et donc
.
- Le coefficient directeur de la tangente à
au point d'abscisse
est
.
- Une primitive de
est donc donnée par
Partie 2
-
- La différence entre les points le plus haut et le plus bas est
donc
est vraie.
-
. D'après la question 3., l'inclinaison en
est 2, donc
est vraie.
- La différence entre les points le plus haut et le plus bas est
- L'aire de la face avant, en unités d'aire, vaut
.
L'aire latérale gauche vaut.
L'aire latérale droite vaut.
L'aire à peindre est donc.
Il faut prévoir donc au minimumlitres de peinture.
-
-
.
- La partie de l'algorithme à compléter est :
prend la valeur 0.
Pourallant de 0 à 19
 prend la valeur
Fin Pour
-
Cacher la correction
Exercice 5: Bac 2014: Exponentielle et (un peu pour finir d') intégrales
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé
, une courbe
et la droite
où
et
sont les points de coordonnées respectives
et
.
On désigne par
la fonction dérivable sur
dont la courbe
représentative est
.
On suppose, de plus, qu'il existe un réel
tel que pour tout réel
,
Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
Cacher la correction







![\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,3.5)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2.2)(0,3.8)
\rput(0,1){$\tm$}\rput(-1,3){$\tm$}
\uput[ur](0,1){$A$}\uput[l](-1,3){$B$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.4}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/8.png)
On désigne par



On suppose, de plus, qu'il existe un réel



-
- Justifier que la courbe
passe par le point
.
- Déterminer le coefficient directeur de la droite
.
- Démontrer que pour tout réel
,
- On suppose que la droite
est tangente à la courbe
au point
.
Déterminer la valeur du réel.
- Justifier que la courbe
- D'après la question précédente, pour tout réel
,
- Démontrer que pour tout réel
de l'intervalle
,
.
- Démontrer que pour tout réel
inférieur ou égal à
,
.
- Démontrer qu'il existe un unique réel
de l'intervalle
tel que
. Justifier que
.
- Démontrer que pour tout réel
- On désigne par
l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par:
- Écrire
sous la forme d'une intégrale.
- On admet que l'intégrale
est une valeur approchée de
à
près.
Calculer la valeur exacte de l'intégrale.
- Écrire
Correction exercice 5
Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
-
- On a
ce qui montre que le point de coordonnées
, c'est-à-dire
, appartient à
.
- Le coefficient directeur de la droite
est
.
-
est de la forme
, avec
donc
et
donc
.
Ainsi,.
- Si la droite
est tangente à la courbe
au point
d'abscisse
, alors le coefficient directeur de
est
. Ainsi,
- On a
- On a donc, avec
,
.
- Pour tout réel
,
et
, donc
.
Pour tout,
, donc
, alors, par addition,
.
- Pour
,
, donc,
et
. Ainsi,
et alors
.
- Sur
,
est dérivable donc continue, avec
donc la fonction
est strictement croissante sur cet intervalle donc aussi sur l'intervalle
.
Oret
donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation
admet une solution unique
dans l'intervalle
.
Ordonc
et donc
.
- Pour tout réel
-
- Comme
sur
, alors
.
- La fonction
a pour primitive la fonction
.
La fonction(forme
) a pour primitive la fonction
donc la fonction
a pour primitive la fonction
.
La fonctiona donc pour primitive la fonction
définie par
.
On a alors
- Comme
Cacher la correction
Exercice 6: Bac 2014: Suite d'intégrales et exponentielle
Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par
la courbe représentative de la fonction
définie sur
par:
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite
définie sur
par:
Partie A
Partie B
Cacher la correction
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par




- Justifier que
passe par le point A de coordonnées
.
- Déterminer le tableau de variation de la fonction
. On précisera les limites de
en
et en
.
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite



- Dans le plan muni d'un repère orthonormé
, pour tout entier naturel
, on note
la courbe représentative de la fonction
définie sur
par
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbepour plusieurs valeurs de l'entier
et la droite
d'équation
.
- Interpréter géométriquement l'intégrale
.
- En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur
le sens de variation de la suite
et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
- Interpréter géométriquement l'intégrale
- Démontrer que pour tout entier naturel
supérieur ou égal à 1,
En déduire le signe depuis démontrer que la suite
est convergente.
- Déterminer l'expression de
en fonction de
et déterminer la limite de la suite
.
Correction exercice 6
Partie A
- On a
et donc
.
- Comme
et
sont définies et dérivables sur
,
est aussi définie et dérivable sur
, comme somme et composéee de fonctions définies et dérivables sur
, avec, pout tout
,
.
De plus,, car la fonction exponentielle est strictement croissante sur
, et ainsi,
.
En,
et
, et donc, par somme des limites,
.
En,
, avec
et
(croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes).
Ainsi,, et alors, par produit des limites,
.
Partie B
-
-
est l'aire sous la courbe
: l'aire du domaine compris entre les droites verticales d'équation
et
, et entre l'axe des abscisses et la courbe
.
- Il semblerait que la courbe
soit en dessous de la courbe
. On peut donc conjecturer que la suite
est décroissante.
Il semblerait de plus que lorsquedevient grand, la courbe
se rapproche de la diagonale du carré de côté
. On peut ainsi conjecturer que la suite
est convergente, de limite
.
-
- Pour tout entier
,
car.
,
, et
, car la fonction exponentielle est strictement croissante sur
, et donc,
.
On en déduit que pour tout,
, et donc que
Ainsi, la suiteest décroissante.
et pour tout entier
,
, et donc,
, on a
.
Ainsi,est une suite décroissante et minorée par 0:
est donc convergente.
- Pour tout entier
,
Commeet
, on a donc,
, ce qui démontre la conjecture émise au début de cette partie.
Cacher la correction
Exercice 7: Bac 2008: Calcul d'une aire entre deux courbes de logarithmes
Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal
, les fonctions
et
définies sur l'intervalle
par
et
.
![\[\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3.2)(4,3.2)
\newcommand{\f}[1]{x ln}
\newcommand{\g}[1]{x ln 2 exp}
\pscustom{
\psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave
\psplot{2.718}{1}{\g{x}}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%\fill[fillstyle=vlines]
\grestore}
\psline(-.2,0)(4,0)
\psline(0,-3)(0,3)
\multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}}
\psplot{.05}{4}{\f{x}}
\psplot{.1}{4}{\g{x}}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/exLogCarreIPP/7.png)
Bac juin 2008
Cacher la correction



![$]0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/exLogCarreIPP/4.png)


![\[\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3.2)(4,3.2)
\newcommand{\f}[1]{x ln}
\newcommand{\g}[1]{x ln 2 exp}
\pscustom{
\psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave
\psplot{2.718}{1}{\g{x}}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%\fill[fillstyle=vlines]
\grestore}
\psline(-.2,0)(4,0)
\psline(0,-3)(0,3)
\multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}}
\psplot{.05}{4}{\f{x}}
\psplot{.1}{4}{\g{x}}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/exLogCarreIPP/7.png)
- On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
On noteet
.
- Vérifier que la fonction
définie sur l'intervalle
par
est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire
.
- Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que
.
- Donner la valeur de A.
- Vérifier que la fonction
- Pour
appartenant à l'intervalle
, on note
le point de la courbe C d'abscisse
et
le point de la courbe C' de même abscisse.
Pour quelle valeur dela distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.
Correction exercice 7
Bac juin 2008
-
- On dérive:
avec
donc
et
donc
,
et alors,,
soit
ce qui montre queest bien une primtive de
.
On en déduit
- On pose
donc
et
donc
et et alors, en intégrant par parties,
car.
- On en déduit la valeur de A:
- On dérive:
- Pour
, on a
Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de connaître ses variations.
On a
avecet donc
La distance est donc maximale enet cette distance maximale est
Cacher la correction
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