Intégration et calcul intégral: annales de bac et corrections

Terminale générale, spécialité mathématiques

Annales de bac: sujets et corrigés d'exercices posés au baccalauréat en mathématiques sur les intégrales

Exercice 1: Bac 2022: QCM, limite, convexité, primitive

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes


  1. La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ admet pour asymptote la droite d'équation:
    a.  $x = -2$
    b.   $y = -1$
    c.   $y = - 2$
    d.   $y = 0$

  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x e^{x^2}$.
    La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0) = 1$ est définie par :

    a.   $F(x) = \dfrac{x^2}{2} e^{x^2}$
    b.   $F(x) = \dfrac12 e^{x^2}$
    c.   $F(x) = \lp1 + 2x^2\right) e^{x^2}$ ;
    d.   $F(x) = \dfrac12e^{x^2} + \dfrac12$

  3. On donne ci-contre la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

    \[\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-5)(10,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-0.5,-5)(10,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-0.5,-5)(10,1) \psecurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.3,-6)(-0.2,-5)(0,-4)(1,-1.2)(2,0)(3,0.45)(4,0.5)(5,0.45)(6,0.4)(10,0.1)(11,0.08) \uput[d](1,0){\footnotesize 1}\uput[d](2,0){\footnotesize 2}\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}\uput[d](0,1){\footnotesize 1} \uput[r](0.4,3.5){$\mathcal{C}_{f'}$} \end{pspicture*}\]


    On peut affirmer que la fonction $f$ est :
    a.   concave sur $]0~;~+\infty[$
    b.   convexe sur $]0~;~+\infty[$
    c.   convexe sur [0 ; 2]
    d.   convexe sur $[2~;~+\infty[$
  4. Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3e^{-x^2} + 2$ :

    a. toutes sont croissantes sur $\R$
    b. toutes sont décroissantes sur $\R$
    c. certaines sont croissantes sur $\R$ et d'autres décroissantes sur $\R$
    d. toutes sont croissantes sur $]-\infty~;~0]$ et décroissantes sur $[0~;~+\infty[$

  5. La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}$ est égale à :

    a.   $\dfrac23$ ;
    b.   $+ \infty$ ;
    c.   $- \infty$
    d.   $0$

  6. L'équation $e^{2x} + e^x - 12 = 0$ admet dans $\R$ :

    a.   trois solutions;
    b.   deux solutions;
    c.   une seule solution;
    d.   aucune solution.

Correction exercice 1



  1. c.
    On a
    \[\begin{array}{ll}f(x) &= \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}\\[1em] &=\dfrac{-2x^2\lp1-\frac3{2x}+\frac1{2x^2}\right)}{x^2\lp1+\frac1{x^2}\right)}\\[1em] &=-2\dfrac{1-\frac3{2x}+\frac1{2x^2}}{1+\frac1{x^2}} \enar\]

    d'où
    \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2\]

    et donc la droite d'équation $y=-2$ est asymptote.
  2. d.
    On peut par exemple dériver chacune des propositions, seule la b. et la d. convienne.
    Comme on veut de plus que $F(0)=1$, seule la réponse d. convient finalement.
  3. c.
    Une fonction est convexe lorsque sa dérivée est croissante (et donc dérivée seconde positive).
    Ici on peut conjecturer que la fonction est convexe sur $]-\infty;3]$ environ, et donc en particulier sur $[0;2]$.
  4. a. Les primitives $F$ de $f$ vérifient $F'(x)=f(x)=3e^{-x^2} + 2$. En particulier, comme $e^{-x^2}>0$ sur $\R$, on a $F'(x)>0$ et donc $F$ est nécessairement strictement croissante sur $\R$.
  5. d. On a
    \[f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1} =\dfrac{\ln(x)}{x^2}\tm\dfrac{2}{3+\frac1{x^2}}\]

    avec, par croissances comparées
    \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\]

    et donc
    \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\]


  6. c.
    On pose $X=e^x$ et alors l'équation se réécrit
    \[X^2+X-12=0\]

    c'est une équation du second degré de discriminant $\Delta=49=7^2>0$ qui admet donc deux solutions réelles distinctes $X_1=-4$ et $X_2=3$.
    On revient alors à l'équation de départ:
    • $X_1=e^{x_1}=-4$ qui est impossible, car $e^x>0$ pour tout réel $x$
    • $X_2=e^{x_2}=3\iff x_2=\ln(3)$
    L'équation admet donc une unique solution sur $\R$.


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Exercice 2: Bac 2019, Métropole: Intégrale gaussienne, et méthode de Monté Carlo

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ dans un repère orthogonal d'une fonction $g$ définie et continue sur $\R$. La courbe $\mathcal{C}_g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan $y>0$.

\[\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true} \begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2) \multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)} \multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2) \uput[d](-0.08,-0.02){$0$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div} %\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2} \end{pspicture}\]

Pour tout $t\in\R$ on pose:
\[G(t)=\int_0^t g(u) du\]


Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
  1. La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0~;~ +\infty[$ ? Justifier.
  2. Justifier graphiquement l'inégalité $G(1) \leqslant 0,9$.
  3. La fonction $G$ est-elle positive sur $\R$ ? Justifier.

Dans la suite du problème, la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = e^{-u^2}$.

Partie B
  1. Étude de $g$
    1. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    2. Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
    3. Préciser le maximum de $g$ sur $\R$. En déduire que $g(1)\leqslant1$.
  2. On note $E$ l'ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. On appelle $I$ l'aire de cet ensemble.
    On rappelle que:
    \[I=G(1)=\int_0^1 g(u) du\]

    On souhaite estimer l'aire $I$ par la méthode dite "de Monte-Carlo" décrite ci-dessous.
    • On choisit un point $M(x~;~y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~ 1]$. On admet que la probabilité que le point $M$ appartienne à l'ensemble $E$ est égale à $I$.
    • On répète $n$ fois l'expérience du choix d'un point $M$ au hasard. On compte le nombre $c$ de points appartenant à l'ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
    • La fréquence $f = \dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.

    1. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur de $f$ correspondant à ce graphique.

      \[\psset{xunit=11.5cm,yunit=9cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.05,1.05) \psframe(1,1) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div} \psdots(0.1,0.98)(0.05,0.02)(0.12,0.9)(0.22,0.83)(0.32,0.82)(0.37,0.815)(0.09,0.76)(0.22,0.69)(0.35,0.67)(0.11,0.7)(0.18,0.53)(0.24,0.63)(0.57,0.61)(0.64,0.61)(0.65,0.6)(0.21,0.58) (0.48,0.55)(0.64,0.55)(0.66,0.53)(0.7,0.5)(0.57,0.44)(0.72,0.44)(0.77,0.44)(0.85,0.47) (0.13,0.46)(0.75,0.39)(0.54,0.41)(0.09,0.28)(0.27,0.29)(0.69,0.36)(0.7,0.37)(0.08,0.35) (0.28,0.28)(0.46,0.25)(0.47,0.23)(0.57,0.28)(0.7,0.28)(0.96,0.25)(0.3,0.23)(0.46,0.23) (0.54,0.21)(0.93,0.2)(0.96,0.23)(0.025,0.16)(0.035,0.16)(0.18,0.18)(0.28,0.16)(0.41,0.12) (0.63,0.16)(0.95,0.1)(0.45,0.13)(0.74,0.17)(0.94,0.12)(0.96,0.15)(0.08,0.04)(0.29,0.04) (0.01,0.02)(0.12,0.02)(0.51,0.01)(0.58,0)(0.92,0)(0.28,0.4)(0.3,0.42)(0.32,0.45) (0.35,0.5)(0.37,0.55)(0.39,0.57)(0.41,0.5)(0.48,0.41)(0.79,0.2)(0.76,0.15)(0.8,0.1) (0.85,0.26)(0.9,0.4)(0.44,0.65)(0.44,0.48)(0.57,0.63) \psdots[dotstyle=o](0.29,0.95)(0.57,0.98)(0.59,0.95)(0.79,0.92)(0.9,0.99)(0.49,0.8)(0.68,0.9)(0.79,0.91)(0.81,0.92)(0.43,0.85)(0.77,0.79)(0.94,0.77)(0.84,0.68)(0.87,0.64)(0.85,0.61)(0.83,0.59) (0.74,0.77)(0.97,0.69)(0.975,0.495)(0.92,0.47)(0.93,0.44)(0.6,0.8)(0.68,0.78) \end{pspicture}\]


    2. L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$. Recopier et compléter cet algorithme.


      $f$, $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.
      ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$.

      \[\fbox{\begin{minipage}{8cm} $c \gets 0$\\ Pour $i$ variant de $1$ \`a $n$ faire :\\ \hspace*{2.cm}$x \gets$ ALEA\\ \hspace*{2.cm}$y \gets$ ALEA\\ \hspace*{1cm}Si $y \leqslant \ldots$ alors\\ \hspace*{2.cm}$c \gets \ldots$\\ \hspace*{1cm}fin Si\\ fin Pour\\ \hspace{2.5cm}$f \gets \ldots$\\ \end{minipage}}\]


    3. Une exécution de l'algorithme pour $n=1000$ donne $f = 0,757$. En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la valeur exacte de $I$.


Partie C
On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = \text{e}^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par :
\[G(t) =\int_0^t g(u) du\]

On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \geqslant 1$.


  1. Un résultat préliminaire.
    On admet que, pour tout réel $u \geqslant 1$, on a $g(u) \leqslant \dfrac1{u^2}$.
    En déduire que, pour tout réel $t \geqslant 1$, on a :
    \[\int_1^t g(u) du \leqslant 1 - \dfrac1t\]

  2. Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 1$,
    \[G(t) \leqslant 2 - \dfrac1t\]

    Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ?

Correction exercice 2



\[\psset{xunit=2cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2) \multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)} \multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2) \uput[d](-0.08,-0.02){$0$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div} %\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2} \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div} \psline(1,0)(0,0)} \pspolygon[linecolor=red,linewidth=2pt](0,0)(0,1)(0.5,1)(0.5,0.8)(1,0.8)(1,0) \end{pspicture}\]


  1. La fonction $G$ est l'intégrale d'une fonction positive et est donc croissante sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
    Algébriquement, on sait que $G$ est la primitive de $g$ qui s'annule en 1. On a donc en particulier $G'(t)=g(t)$ avec $g(t)\geqslant0$ d'après le graphique. Ainsi, $G'\geqslant0$ et $G$ est croissante sur $\R_+$.
  2. $G(1)$ est égale à l'aire, en unités d'aire, de la surface hachurée sur le graphique. Cette aire est inférieure à celle des deux rectangles tracés en rouge, dont l'aire vaut $0,5\tm1+0,5\tm0,8=0,9$, et on a donc ainsi $G(1) < 0,9$.
  3. Comme $g\geqslant0$ on a, par positivité de l'intégrale, que pour tout $a<b$,
    \[\int_a^b g(u)du\geqslant0\]

    Ainsi, pout tout $t\geqslant0$, $G(t)=\dsp\int_0^tg(u)du\geqslant0$.
    Par contre, si $t\leqslant0$, alors $G(t)=\dsp\int_0^tg(u)du\geqslant0 =-\int_t^0g(u)du\leqslant0$.
    Ainsi, $G$ est négative sur $\R_-$ et positive sur $\R_+$.


Partie B
    1. Comme $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, on a par composition des limites, $\dsp\lim_{u\to-\infty} e^{-u^2} = \lim_{u\to+\infty}e^{-u^2} = 0$,
      c'est-à-dire
      \[\lim_{u\to-\infty} g(u) = \lim_{u \to + \infty} g(u) = 0\]

    2. $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de la fonction exponentielle et de la fonction carré, toutes deux dérivables sur $\R$, avec, $g'(u)=-2u e^{-u^2}$.
      Comme pour tout réel $u$, on a $e^{-u^2}>0$, on a donc
      \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $u$&$-\infty$&&0&&$+\infty$\\\hline $-2u$&&$+$&0&$-$&\\\hline $e^{-u^2}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $g'(u)$&&$+$&0&$-$&\\\hline &&&1&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &0&&&&0\\\hline \end{tabular}\]


    3. Comme trouvé dans le tableau de variation précédent, $g$ atteint son maximum en $0$, et qui vaut $g(0)=1$. Ceci signifie aussi que pour tout réel $u$ on a $g(u)\leqslant1$, et en particulier pour $u=1$, on a $g(1)\leqslant1$.
    1. On compte 23 points au dessus de la courbe, donc 77 en dessous, et donc $f = \dfrac{77}{100} = 0,77$.

    2. \[\fbox{\begin{minipage}{8cm} $c \gets 0$\\ Pour $i$ variant de $1$ \`a $n$ faire :\\ \hspace*{2.cm}$x \gets$ ALEA\\ \hspace*{2.cm}$y \gets$ ALEA\\ \hspace*{1cm}Si $y \leqslant \text{e}^{-x^2}$ alors\\ \hspace*{2.cm}$c \gets c + 1$\\ \hspace*{1cm}fin Si\\ fin Pour\\ \hspace*{2.5cm}$f \gets \dfrac{c}{n}$\\ \end{minipage}}\]


    3. Pour $n=1000$ et $f = 0,757$, l'intervalle de confiance de la valeur exacte de $I$, au niveau de confiance de 95 %, est
      \[\left[ f-\dfrac1{\sqrt{n}}~;~f-\dfrac1{\sqrt{n}}\right] =\bigl[0,725~;~0,789\bigr]\]



Partie C
  1. Comme l'intégrale conserve l'ordre, on a
    \[g(u) \leqslant \dfrac{1}{u^2} \Longrightarrow \int_1^t g(u) du \leqslant \int_1^t\dfrac{1}{u^2} du\]

    ce ui nous donne le résultat cherché car
    \[\int_1^t\dfrac{1}{u^2} du=\Bigl[-\dfrac1u\Bigr]_1^t=-\dfrac1t+1\]

  2. On a, en utilisant la relation de Chasles,
    \[\begin{array}{ll}G(t)&=\dsp\int_0^tg(u)du \\[1.2em] &=\dsp\int_0^1 g(u) du + \int_1^t g(u) du\enar\]

    Or, on a vu que $\displaystyle\int_0^1 g(u)du\leqslant1$ et par ailleurs, dans la question précédente, que $\displaystyle\int_1^t g(u)du \leqslant 1 - \dfrac{1}{t}$, d'où par somme:
    \[G(t) \leqslant 1+ 1 - \dfrac1t=2-\dfrac1t\]


    Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{t} = 0$, si la limite de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ existe, alors elle est inférieure ou égale à 2.


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Exercice 3: Bac 2016, Amérique du nord: Un récupérateur d'eau: logarithme, tangente, primitive, intégrale, TVI et algorithme: dichotomie

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:
  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-dessous.
$$(-1.8,-0.5)(7,5) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m} $$


La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$ définie par:

\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2e;2)$.

\[\psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2) \psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){$A$} \uput[u](5.437,2){$B$} \uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){$I$} \uput[dr](3.437,0){$D$} \rput(1,1){Terrain} \rput(3.2,1.2){Cuve} \rput(4.7,0.5){Terrain} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2) \end{pspicture*}\]




Partie A   L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.

  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $I$.
  2. On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    2. On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y=2$, $x=2$ et $x=2e$.
      $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
      Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    1. Montrer que, sur l'intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par
      \[G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-\dfrac{x^2}{4}\]

      est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$.
    3. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m3 près.


Partie B   Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 2e],

\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]


\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2) \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){ \psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}} } \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75) \psline(5.08,1.75)(2,1.5) } \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.5) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.3) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37) \uput[d](5.2,0.3){$x$} \uput[l](0,1.37){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} \end{pspicture}\]


  1. Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l'algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
    \[\begin{tabular}{|ll|}\hline Variables:&$a$ est un r\'eel\\ &$b$ est un r\'eel\\ Traitement:&$a$ prend la valeur 2\\ &$b$ prend la valeur 2 e\\ &Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\ Si $v(c) < V/2$, alors :\\ \hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $a$ prend la valeur c\\ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0.4cm} \begin{tabular}{|l} $b$ prend la valeur $c$\\ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ Sortie: &Afficher $f(c)$\\ \hline \end{tabular}\]


Correction exercice 3


Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016 6 points
Partie A  
  1. On a $f(2e)=2e\ln\lp\dfrac{2e}{2}\rp-2e+2=2e\ln(e)-2e+2=2$, car $\ln(e)=1$, et donc $B(2e;2)\in\mathcal{C}_f$.
    De même, $f(2)=2\ln\lp\dfrac{2}{2}\rp-2+2=0$, car $\ln(1)=0$, et donc $I(2;0)\in\mathcal{C}_f$.
    De plus, en $I$ le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ est $f'(2)$.
    On a, pour tout $x\geqslant2$, $f(x)=x\lp\ln(x)-\ln(2)\rp-x+2$, soit $f=uv+w$, avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=\ln(x)-\ln(2)$, donc $v'(x)=\dfrac1x$, et $w(x)=-x+2$, donc $w'(x)=-1$.
    On a alors, $f'=u'v+uv'+w'$, soit $f'(x)=\ln(x)-\ln(2)+x\dfrac1x-1=\ln(x)-\ln(2) =\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    Ainsi, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $I$ a pour coefficient directeur $f'(2)=\ln(1)=0$ et passe par $I$: c'est l'axe des abscisses.
    1. Une équation de $\mathcal{T}$ est: $y=f'(2e)(x-2e)+f(2e)$, avec $f'(2e)=\ln(e)=1$ et $f(2e)=2$, d'où $\mathcal{T}: y=x-2e+2$.

      On a alors $D(x_D;y_D)$ avec $y_D=0=x_D-2e+2\iff x_D=2e-2$. Ainsi, $D(2e-2;0)$.
    2. L'aire de $ABI$, trangle rectangle en $I$, est $\dfrac{AI\times AB}{2}=\dfrac{2\times(2e-2)}{2}=2e-2$
      et l'aire du trapèze $AIDB$ est $\dfrac{(AB+ID)\times AI}{2}=\dfrac{(2e-2+2e-2-2)\times2}{2}=4e-6$.
      Ainsi le volume $V$ de la cuve est tel que
      \[5e\leqslant V\leqslant 5(4e-6)\]

      soit approximativement
      \[17,18\leqslant V\leqslant 24,37\]

    1. On a $G=uv-w$ avec $u(x)=x^2/2$, donc $u'(x)=x$, $v(x)=\ln\lp\dfrac{x}2\rp=\ln(x)-\ln(2)$, donc $v'(x)=1/x$, et $w(x)=x^2/4$, donc $w'(x)=x/2$.
      On a alors, $G'=u'v+uv'-w'$, soit
      \[\begin{array}{ll} G'(x)&=x\ln\lp\dfrac{x}2\rp+\dfrac{x^2}{2}\tm\dfrac1x-\dfrac{x}{2}\\[1em] &=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}\\[.8em] &=g(x)\enar\]

      ce qui montre que $G$ est bien une primitive de $g$.
    2. On en déduit qu'une primitive de $f$ définie par $f(x)=g(x)-x+2$ est donnée par
      \[F(x)=G(x)-\dfrac12x^2+2x\]

    3. On peut alors calculer l'intégrale:
      \[\begin{array}{ll} S&\dsp=\int_2^{2e}\Bigl(2-f(x)\Bigr)dx\\[1em] &=\Bigl[ 2x-F(x)\Bigr]_2^{2e}\\[1em] &=\Bigl[ -G(x)+\dfrac12x^2\Bigr]_2^{2e}\\[1em] &=-G(2e)+\dfrac12(2e)^2-\Bigl(-G(2)+\dfrac122^2\Bigr)\\[.7em] &=G(2)-G(2e)+2e^2-2 \enar\]

      avec $G(2)=2\ln(1)-1=-1$, et $G(2e)=2e^2\ln(e)-e^2=e^2$, donc
      \[S=-1-e^2+2e^2-2=e^2-3\]

      et on en déduit le volume de la cuve: $V=5S=5(e^2-3)\simeq 22\,m^3$.




Partie B
  1. Le volume est $v(x)$ avec $x$ tel que $f(x)=1$. On cherche donc à résoudre l'équation $f(x)=1$, avec $f(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2$.
    On ne sait pas résoudre excactement cette équation. On peut par contre le faire de manière approchée, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
    On sait que $f'(x)=\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$, d'après A.1. et donc, comme $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$, que pour tout $x\in[2;2e]$, $f'(x)> \ln\lp\dfrac{2}{2}\rp=0$.
    Ainsi $f$ est strictement croissante sur $[2;2e]$, avec de plus $f(2)=0$ et $f(2e)=2$. On en déduit, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), qu'il existe une unique solution $\alpha\in[2;2e]$ à l'équation $f(x)=1$.
    Avec la calculatrice (à l'aide d'un tableau de valeurs, ou par dichotomie par exemple), on trouve $\alpha\simeq4,3$, et alors le volume est de $v(\alpha)\simeq 7,3\simeq 7 m^3$.
  2. Cet algorithme est un algorithme de recherche par dichotomie.
    Il permet de chercher les valeurs d'un encadrement $[a;b]$ pour lequel la hauteur $c$ correspond à la moitié de la cuve.
    Cet encadrement permet d'avoir un résultat précis à $10^{-3}$ près.


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Exercice 4: Bac 2015: Skateparc: fonction avec logarithme, pentes, dérivées, primitive, intégrale, algorithme




\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19) \psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}} \pspolygon[showpoints](20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C \psline[showpoints](0,7.07)(7.07,14.14)%BB' \psline[showpoints,linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07) \psline[linestyle=dashed,showpoints](7.07,7.07)(7.07,14.14) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} \uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} \uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture}

Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères $OAD'D, $DD'C'C, et $OAB'B sont des rectangles.
Le plan de face $(OBD) est muni d'un repère orthonormé (O,I,J).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, $DD'=10, sa longueur $OD est de 20 mètres.



Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.


Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f définie sur l'intervalle $[0;20] par
f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.

On note $f' la fonction dérivée de la fonction $f et $\mathcal{C} la courbe représentative de la fonction $f dans le repère (O, I, J).

Partie 1
  1. Montrer que pour tout réel $x appartenant à l'intervalle $[0;20], on a $f'(x)=\ln(x+1)-2.
  2. En déduire les variations de $f sur l'intervalle $[0;20] et dresser son tableau de variation.
  3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C} au point d'abscisse $0.
    La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point $B.

\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(23,13.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(23,13.5) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \uput[u](15,7){$\mathcal{C}$}\uput[d](20,0){D}\uput[l](0,7.07){B}\uput[dr](20,10.935){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture}



4. On admet que la fonction $g définie sur l'intervalle $[0;20] par
g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2 -\dfrac{1}{2}x

a pour dérivée la fonction $g' définie sur l'intervalle $[0;20] par $g'(x)=(x+1)\ln(x+1).
Déterminer une primitive de la fonction $f sur l'intervalle $[0;20].



Partie 2


Les trois questions de cette partie sont indépendantes


  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
     
    • [$P_1:] La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
    • [$P_2:] L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en $B qu'en $C.

  2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de $5m^2 par litre.
    Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.



  3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.


    Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k;f(k)) pour $k variant de 0 à 20.
    Ainsi, $B_0=B.
    On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C} allant de $B_k à $B_{k+1} par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right].
    Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k (voir figure).
    \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture}(-2.2,-1.5)(29,17) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}} \pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C \psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB' \psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07) \psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\scriptsize A} \uput[l](0,7.07){\scriptsize B} \uput[ul](7.07,14.14){\scriptsize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} \uput[d](20,0){\scriptsize D} \uput[dr](27.07,7.07){\scriptsize D$'$} \uput[d](1,0){\scriptsize I} \psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[d](1,5.48){\scriptsize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$} \psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[d](2,4.34){\scriptsize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$} \psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\scriptsize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} \psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[d](9,3.03){\scriptsize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\scriptsize $B'_{k+1}$} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture}




    1. Montrer que pour tout entier $k variant de 0 à 19, $B_kB_{k+1}=\sqrt{1+\left( f(k+1)-f(k)\rp^2}.
    2. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
      \begin{tabular}{|l|p{10cm}|}\hline Variables &$S$ : r\'eel\\ &$K$ : entier\\ Fonction &$f$ : d\'efinie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline Traitement &$S$ prend pour valeur $0$\\ &Pour $K$ variant de \ldots \`a \ldots\\ &\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie &Afficher \ldots\\ \hline \end{tabular}


Correction exercice 4


Partie 1
  1. $f=uv+w avec $u(x)=x+1, donc $u'(x)=1, $v=\ln(u), donc $v'=\dfrac{u'}{u} soit $v'(x)=\dfrac{1}{x+1} et $w(x)=-3x+7 donc $w'(x)=-3.
    On a alors $f'=u'v+uv'+w', soit $f'(x)=\ln(x+1)+(x+1)\dfrac{1}{x+1}-3=\ln(x+1)-2.
  2. $f'(x)>0\iff \ln(x+1)>2\iff x+1>e^2, par croissance de la fonction exponentielle, et donc $f'(x)>0\iff x=e^2-1.
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline x&0&&$e^{2}-1$&&20\\\hline $f'(x)$&&-&\zb&+&\\\hline &7&&&&$f(20)\simeq 10,93$\\ $f(x)$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,.4)(.6,-.5)&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.5)(.4,.4)&\\ &&&$\begin{array}{c}f\left( e^{2}-1\rp\\=10-e^2\simeq 2,6\enar$&&\\\hline \end{tabular}

  3. Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C} au point d'abscisse $0 est $f'(0)=1\ln(1)-2=-2.
  4. Une primitive de $f est donc donnée par $F(x)=g(x)-\dfrac{3x^2}{2}+7x



Partie 2


    • La différence entre les points le plus haut et le plus bas est $f(20)-f\left( e^{2}-1\rp\simeq 8,3>8 donc $P_1 est vraie.
    • $f'(20)=\ln(21)-2\simeq 1,04. D'après la question 3., l'inclinaison en $B est 2, donc $P_2 est vraie.

  2. L'aire de la face avant, en unités d'aire, vaut
    $\displaystyle \mathcal{A}_1=\int_0^{20}f(x)dx=F(20)-F(0)\simeq101,3.
    L'aire latérale gauche vaut $\mathcal{A}_2=\mathcal{A}(OAB'B)=10f(0)=70.
    L'aire latérale droite vaut $\mathcal{A}_3=\mathcal{A}(DD'C'C)=10f(20)\simeq 109,3.
    L'aire à peindre est donc $\mathcal{A}=2\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+\mathcal{A}_3\simeq 381,9~\text{m}^2.
    Il faut prévoir donc au minimum $\dfrac{381,9}{5}\simeq77 litres de peinture.

    1. $B_kB_{k+1}=\sqrt{(k+1-k)^2+\left( f(k+1)-f(k)\rp^2}=\sqrt{1+\left( f(k+1)-f(k)\rp^2}.
    2. La partie de l'algorithme à compléter est :
      $S prend la valeur 0.
      Pour $K allant de 0 à 19
         $S prend la valeur $S+10\sqrt{1+\left(f(k+1)-k(k)\right)^2}
      Fin Pour


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Exercice 5: Bac 2014: Exponentielle et (un peu pour finir d') intégrales

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp, une courbe $\mathcal{C} et la droite $(AB) où $A et $B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1) et $(-1~;~3).
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,3.5) \psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2.2)(0,3.8) \rput(0,1){$\tm$}\rput(-1,3){$\tm$} \uput[ur](0,1){$A$}\uput[l](-1,3){$B$} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$} \uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3} \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$} \uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub} \psplot{-1.4}{1.5}{1 x 2 mul sub} \end{pspicture}

On désigne par $f la fonction dérivable sur $\R dont la courbe représentative est $\mathcal{C}.
On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a tel que pour tout réel $x,
f(x) = x + 1 + axe^{- x^2}.

    1. Justifier que la courbe $\mathcal{C} passe par le point $A.
    2. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB).
    3. Démontrer que pour tout réel $x,
      f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.

    4. On suppose que la droite $(AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C} au point $A.
      Déterminer la valeur du réel $a.
  2. D'après la question précédente, pour tout réel $x,
    f(x) = x + 1 - 3xe^{- x^2} \quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.

    1. Démontrer que pour tout réel $x de l'intervalle $]- 1~;~0], $f(x) > 0.
    2. Démontrer que pour tout réel $x inférieur ou égal à $- 1, $f'(x) > 0.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $c de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right] tel que $f(c) = 0. Justifier que $c<-\dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}.
  3. On désigne par $\mathcal{A} l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par:
    c \leqslant x \leqslant 0 \quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).

    1. Écrire $\mathcal{A} sous la forme d'une intégrale.
    2. On admet que l'intégrale $I = \dsp\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\,dx est une valeur approchée de $\mathcal{A} à $10^{-3} près.
      Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I.

Correction exercice 5


Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
    1. On a $f(0)=1 ce qui montre que le point de coordonnées $(0;1), c'est-à-dire $A, appartient à $\mathcal{C}.
    2. Le coefficient directeur de la droite $(AB) est $\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \dfrac{3-1}{-1-0}=-2.
    3. $f est de la forme $f(x)=x+1+a u(x) v(x), avec $u(x)=x donc $u'(x)=1 et $v(x)=e^{-x^2}=e^{w(x)} donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2xe^{-x^2}.
      Ainsi, $f'(x)=1+a\left( u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\right) =1+a\left( e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}\right) =1-a\lp2x^2-1\right) e^{-x^2}.
    4. Si la droite $(AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C} au point $A d'abscisse $0, alors le coefficient directeur de $(AB) est $f'(0)=-2. Ainsi, $1 - a\left (0-1\right )e^0 = -2 \iff 1+a=-2 \iff a=-3
  2. On a donc, avec $a=-3, $f(x) = x + 1 - 3xe^{- x^2} \text{ et } f'(x) = 1 + 3\lp2x^2-1\right) e^{- x^2}.
    1. Pour tout réel $x\in]-1;0], $e^{-x^2}>0 et $-3x\geqslant 0, donc $-3xe^{-x^2}\geqslant 0.
      Pour tout $x\in]-1;0], $x>-1, donc $x+1>0, alors, par addition, $f(x)=x+1+\left( -3xe^{-x^2}\rp>0.
    2. Pour $x\leqslant -1, $x^2\geqslant 1, donc, $2x^2\geqslant 2 et $2x^2-1\geqslant 1>0. Ainsi, $3\left( 2x^2-1\right) e^{-x^2}>0 et alors $f'(x)=1+3\left( 2x^2-1\right) e^{-x^2}>1>0.
    3. Sur $] -\infty\,;\,-1], $f est dérivable donc continue, avec $f'(x)>0 donc la fonction $f est strictement croissante sur cet intervalle donc aussi sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\rb.
      Or $f\left (-\dfrac{3}{2}\right ) \approx -0,026<0 et $f(-1)\approx 1,10>0 donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0 admet une solution unique $c dans l'intervalle $\lb-\dfrac{3}{2}\,;\, -1\rb.
      Or $f\lp- \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}\right) \approx 0,017>0 donc $c\in\lb-\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}\right[ et donc $c < -\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}.

    1. Comme $f(x)\geqslant 0 sur $[c;0], alors $\mathcal A = \dsp\int_c^0 f(x) dx.
    2. La fonction $x \mapsto x+1 a pour primitive la fonction $x \mapsto \dfrac{x^2}{2}+x.
      La fonction $x \mapsto -2xe^{-x^2} (forme $u'e^{u}) a pour primitive la fonction $x \mapsto e^{-x^2} donc la fonction $x \mapsto -3xe^{-x^2} a pour primitive la fonction $x\mapsto\dfrac{3}{2}\,e^{-x^2}.
      La fonction $f a donc pour primitive la fonction $F définie par $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+\dfrac{3}{2}e^{-x^2}.
      On a alors $I= F(0) - F\lp-\dfrac{3}{2}\right) =\dfrac{3}{2}-\lp\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-\frac{9}{4}}\right) =\dfrac{15}{8}-\dfrac{3}{2}e^{-\frac{9}{4}}


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Exercice 6: Bac 2014: Suite d'intégrales et exponentielle

Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:


  1. Justifier que passe par le point A de coordonnées .
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .




Partie B
 

L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:


  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé , pour tout entier naturel , on note la courbe représentative de la fonction définie sur par


    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .



    1. Interpréter géométriquement l'intégrale .
    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,


    En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente.
  3. Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .

Correction exercice 6


Partie A
  1. On a et donc .
  2. Comme et sont définies et dérivables sur , est aussi définie et dérivable sur , comme somme et composéee de fonctions définies et dérivables sur , avec, pout tout , .
    De plus, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
    En , et , et donc, par somme des limites, .
    En , , avec et (croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes).
    Ainsi, , et alors, par produit des limites, .




Partie B
    1. est l'aire sous la courbe : l'aire du domaine compris entre les droites verticales d'équation et , et entre l'axe des abscisses et la courbe .
    2. Il semblerait que la courbe soit en dessous de la courbe . On peut donc conjecturer que la suite est décroissante.
      Il semblerait de plus que lorsque devient grand, la courbe se rapproche de la diagonale du carré de côté . On peut ainsi conjecturer que la suite est convergente, de limite .

  2. Pour tout entier ,

    car .
     
    De plus, pour tout , , et , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et donc, .
    On en déduit que pour tout , , et donc que

    Ainsi, la suite est décroissante.
     
    Comme pour tout et pour tout entier , , et donc, , on a .
    Ainsi, est une suite décroissante et minorée par 0: est donc convergente.
  3. Pour tout entier ,


    Comme et , on a donc, , ce qui démontre la conjecture émise au début de cette partie.


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Exercice 7: Bac 2008: Calcul d'une aire entre deux courbes de logarithmes

Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal $\left( 0;\vec{i},\vec{j}\rp$, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\left(\ln x\rp^2$.
\[\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1,-3.2)(4,3.2) \newcommand{\f}[1]{x ln} \newcommand{\g}[1]{x ln 2 exp} \pscustom{ \psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave \psplot{2.718}{1}{\g{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline(-.2,0)(4,0) \psline(0,-3)(0,3) \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{.05}{4}{\f{x}} \psplot{.1}{4}{\g{x}} \end{pspicture*}\]


  1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
    On note $I=\dsp\int_1^e\ln x\,dx$ et $J=\dsp\int_1^e\lp\ln x\rp^2\,dx$.
    1. Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
    2. Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que $J=e-2I$.
    3. Donner la valeur de A.
  2. Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[1;e]$, on note $M$ le point de la courbe C d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe C' de même abscisse.
    Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Correction exercice 7


Bac juin 2008
    1. On dérive: $F=uv-u$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln x$ donc $v'(x)=\dfrac1x$,
      et alors, $F'=u'v-uv'-u'$,
      soit $F'(x)=\ln x-x\tm\dfrac1x-1=\ln x=f(x)$
      ce qui montre que $F$ est bien une primtive de $f$.

      On en déduit
      \[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^e\ln x\,dx =\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^e =F(e)-F(1)\\[1em] &=\left( e\ln e-e\rp-\left( 1\ln 1-1\rp =1\enar\]


    2. On pose $u=\ln x$ donc $u'=\dfrac1x$ et $v'=\ln x$ donc $v=x\ln x-x$ et et alors, en intégrant par parties,
      \[\begin{array}{ll}J&=\Bigl[\ln x\left( x\ln x-x\rp\Bigr]_1^e -\dsp\int_1^e\dfrac1x\left( x\ln x-x\rp\\[1em] &=0-\dsp\int_1^e\lp\ln x-1\rp\,dx\\[1em] &=-\dsp\int_1^e\ln x\,dx+\int_1^e1dx\\[1em] &=-I+e-1=e-2I\enar\]

      car $I=1$.
    3. On en déduit la valeur de A:
      \[\begin{array}{ll}A&=\dsp\int_1^e\left( f(x)-g(x)\rp\,dx\\[1em] &=\dsp\int_1^ef(x)\,dx-\int_1^eg(x)\,dx\\[1em] &=I-J =1-\left( e-2I\rp\\ &=1-\left( e-2\rp=3-e\enar\]

  2. Pour $x\in[1;e]$, on a
    \[\begin{array}{ll}MN&=d(x)=f(x)-g(x)\\[.5em]&=\ln x-\lp\ln x\rp^2\enar\]

    Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de connaître ses variations.
    On a
    \[d'(x)=\dfrac1x-2\dfrac1x\ln x=\dfrac1x\lp1-2\ln x\rp\]

    avec $1-2\ln x>0\iff \ln x<1/2\iff x<e^{1/2}=\sqrt{e}$ et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$1$ && $\sqrt{e}$ && $e$\\\hline $1/x$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $1-2\ln x$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline $d'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$d\lp\sqrt{e}\rp$&&\\ $d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]

    La distance est donc maximale en $x=\sqrt{e}$ et cette distance maximale est
    \[d\lp\sqrt{e}\rp=\ln\sqrt{e}-\lp\ln\sqrt{e}\rp^2 =\dfrac12-\lp\dfrac12\rp^2=\dfrac14\]



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Quelques autres devoirs




Voir aussi:
ccc