Bac 2013 - Fonction avec log, dérivée, limites, TVI, algorithme, intégrale

Bac S, 20 juin 2013, 7 points
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle .


On dispose des informations suivantes :

• les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 , 0), (1 , 2), (0 , 2);
• la courbe passe par le point B et la droite (BC) est tangente à en B;
• il existe deux réels positifs et tels que pour tout réel strictement positif ,
  
  
  
  

1. 1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de et .
   2. Vérifier que pour tout réel strictement positif , .
   3. En déduire les réels et .
      
2. 1. Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle a le même signe que .
   2. Déterminer les limites de en 0 et en . On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, .
   3. En déduire le tableau de variations de la fonction .
      
3. 1. Démontrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
   2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que . Déterminer l'entier tel que .
      
4. On donne l'algorithme ci-dessous.
   
   
   
   
   
   
    
   
   
   1. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
      
      
      
      
      
      
   2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
   3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude
      
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
   1. Justifier que cela revient à démontrer que .
   2. En remarquant que l'expression de peut s'écrire , terminer la démonstration.

Correction

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