Devoir de maths corrigé, Intégrales
Terminale générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, terminale générale, année scolaire 2022/2023
Exercice 1: Quelques calculs d'intégrales
Calculer les intégrales:
;
;
À l'aide d'une intégration par parties, calculer
À l'aide d'une intégration par parties, calculer
Exercice 2: Suite d'intégrales et exponentielle
Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:
Partie A
Partie B
Cacher la correction
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:
- Justifier que passe par le point A de coordonnées .
- Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:
- Dans le plan muni d'un repère orthonormé ,
pour tout entier
naturel , on note la courbe représentative de la
fonction définie sur par
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .
- Interpréter géométriquement l'intégrale .
- En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
- Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente. - Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .
Correction exercice 2
Partie A
- On a et donc .
- Comme et sont définies et dérivables
sur , est aussi définie et dérivable sur , comme somme
et composéee de fonctions définies et dérivables sur ,
avec,
pout tout , .
De plus, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
En , et , et donc, par somme des limites, .
En , , avec et (croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes).
Ainsi, , et alors, par produit des limites, .
Partie B
-
- est l'aire sous la courbe : l'aire du domaine compris entre les droites verticales d'équation et , et entre l'axe des abscisses et la courbe .
- Il semblerait que la courbe soit en
dessous de la courbe .
On peut donc conjecturer que la suite est décroissante.
Il semblerait de plus que lorsque devient grand, la courbe se rapproche de la diagonale du carré de côté . On peut ainsi conjecturer que la suite est convergente, de limite .
- Pour tout entier ,
car .
On en déduit que pour tout , , et donc que
Ainsi, la suite est décroissante.
Ainsi, est une suite décroissante et minorée par 0: est donc convergente.
- Pour tout entier ,
Comme et , on a donc, , ce qui démontre la conjecture émise au début de cette partie.
Cacher la correction
Exercice 3: Récupérateur d'eau (Bac 2016)
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau.
Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des
charges suivant:
Cette cuve est schématisée ci-dessous.
La partie incurvée est modélisée par la courbe de la fonction sur l'intervalle définie par:
La courbe est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points , et .
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
Partie B  Pour tout réel compris entre et , on note le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à .
On admet que, pour tout réel de l'intervalle [2 ; 2e],
Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016 6 points
Partie A 
Partie B
Cacher la correction
- elle doit être située à deux mètres de sa maison;
- la profondeur maximale doit être de deux mètres;
- elle doit mesurer cinq mètres de long;
- elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
Cette cuve est schématisée ci-dessous.
La partie incurvée est modélisée par la courbe de la fonction sur l'intervalle définie par:
La courbe est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points , et .
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
- Justifier que les points et appartiennent à la courbe et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe au point .
- On note la tangente à la courbe au
point , et le point d'intersection de la droite
avec l'axe des abscisses.
- Déterminer une équation de la droite et en déduire les coordonnées de .
- On appelle l'aire du domaine délimité par la courbe
, les droites d'équations , et .
peut être encadrée par l'aire du triangle et celle du trapèze .
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
-
- Montrer que, sur l'intervalle ,
la fonction définie par
est une primitive de la fonction définie par . - En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle .
- Déterminer la valeur exacte de l'aire et en déduire une valeur approchée du volume de la cuve au m3 près.
- Montrer que, sur l'intervalle ,
la fonction définie par
Partie B  Pour tout réel compris entre et , on note le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à .
On admet que, pour tout réel de l'intervalle [2 ; 2e],
- Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
- On rappelle que est le volume total de la cuve, est la
fonction définie en début d'exercice et la fonction définie dans
la partie B.
On considère l'algorithme ci-dessous.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
Correction exercice 3
Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016 6 points
Partie A 
- On a
,
car , et donc .
De même, , car , et donc .
De plus, en le coefficient directeur de la tangente à est .
On a, pour tout , , soit , avec , donc , , donc , et , donc .
On a alors, , soit .
Ainsi, la tangente à en a pour coefficient directeur et passe par : c'est l'axe des abscisses. -
- Une équation de est:
,
avec et ,
d'où
.
On a alors avec . Ainsi, .
- L'aire de , trangle rectangle en , est
et l'aire du trapèze est .
Ainsi le volume de la cuve est tel que
soit approximativement
- Une équation de est:
,
avec et ,
d'où
.
-
- On a
avec , donc ,
, donc ,
et , donc .
On a alors, , soit
ce qui montre que est bien une primitive de .
- On en déduit qu'une primitive de définie par
est donnée par
- On peut alors calculer l'intégrale:
avec , et , donc
et on en déduit le volume de la cuve: .
- On a
avec , donc ,
, donc ,
et , donc .
Partie B
- Le volume est avec tel que .
On cherche donc à résoudre l'équation ,
avec .
On ne sait pas résoudre excactement cette équation. On peut par contre le faire de manière approchée, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
On sait que , d'après A.1. et donc, comme est strictement croissante sur , que pour tout , .
Ainsi est strictement croissante sur , avec de plus et . On en déduit, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), qu'il existe une unique solution à l'équation .
Avec la calculatrice (à l'aide d'un tableau de valeurs, ou par dichotomie par exemple), on trouve , et alors le volume est de .
- Cet algorithme est un algorithme de recherche par dichotomie.
Il permet de chercher les valeurs d'un encadrement pour lequel la hauteur correspond à la moitié de la cuve.
Cet encadrement permet d'avoir un résultat précis à près.
Cacher la correction
Voir aussi: