Devoir corrigé de maths en Terminale générale, spécialité mathématiques

Intégrales

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, terminale générale, année scolaire 2022/2023

Exercice 1: Quelques calculs d'intégrales

Calculer les intégrales: $I_1=\dsp\int_0^25x^3\,dx$ ;   $I_2=\dsp\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$ ;   $I_3=\dsp\int_{-1}^1 x^2\left( x^3+3\rp^2\,dx$
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_4=\dsp\int_0^1xe^{2x}\,dx$
Correction exercice 1
$I_1=\dsp\int_0^25x^3\,dx=\lb\dfrac54x^4\right] =\dfrac54\tm2^4-0=20$
$I_2=\dsp\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}\,dx =\lb\dfrac12\ln\left( x^2+1\rp\rb_0^1 =\dfrac12\ln(2)-\dfrac12\ln(1)=\dfrac12\ln(2)$
$I_3=\dsp\int_{-1}^1 x^2\left( x^3+3\rp^2\,dx =\lb\dfrac19\left( x^3+3\rp^3\rb_{-1}^1 =\dfrac19\lp4^3-2^3\right) =\dfrac{56}9$
En intégrant par parties, en posant $u=x$ et $v'=e^{2x}$, donc $u'=1$ et $v=\frac12e^{2x}$,
\[\begin{array}{ll}I_4&=\dsp\int_0^1xe^{2x}\,dx\\[1em] &=\left[ \dfrac12xe^{2x}\rb_0^1-\dsp\int_0^1\dfrac12e^{2x}\,dx\\[1em] &=\dfrac12e^2-\lb\dfrac14e^{2x}\rb_0^1\\[1em] &=\dfrac12e^2-\lp\dfrac14e^2-\dfrac14e^0\rp\\[1em] &=\dfrac14e^2+\dfrac14 \enar\]




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Exercice 2: Suite d'intégrales et exponentielle

Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:


  1. Justifier que passe par le point A de coordonnées .
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .




Partie B
 

L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:


  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé , pour tout entier naturel , on note la courbe représentative de la fonction définie sur par


    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .



    1. Interpréter géométriquement l'intégrale .
    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,


    En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente.
  3. Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .

Correction exercice 2
Partie A
  1. On a et donc .
  2. Comme et sont définies et dérivables sur , est aussi définie et dérivable sur , comme somme et composéee de fonctions définies et dérivables sur , avec, pout tout , .
    De plus, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
    En , et , et donc, par somme des limites, .
    En , , avec et (croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes).
    Ainsi, , et alors, par produit des limites, .




Partie B
    1. est l'aire sous la courbe : l'aire du domaine compris entre les droites verticales d'équation et , et entre l'axe des abscisses et la courbe .
    2. Il semblerait que la courbe soit en dessous de la courbe . On peut donc conjecturer que la suite est décroissante.
      Il semblerait de plus que lorsque devient grand, la courbe se rapproche de la diagonale du carré de côté . On peut ainsi conjecturer que la suite est convergente, de limite .

  2. Pour tout entier ,

    car .
     
    De plus, pour tout , , et , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et donc, .
    On en déduit que pour tout , , et donc que

    Ainsi, la suite est décroissante.
     
    Comme pour tout et pour tout entier , , et donc, , on a .
    Ainsi, est une suite décroissante et minorée par 0: est donc convergente.
  3. Pour tout entier ,


    Comme et , on a donc, , ce qui démontre la conjecture émise au début de cette partie.



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Exercice 3: Récupérateur d'eau (Bac 2016)

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:
  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-dessous.
$$(-1.8,-0.5)(7,5) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m} $$


La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$ définie par:

\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2e;2)$.

\[\psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2) \psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){$A$} \uput[u](5.437,2){$B$} \uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){$I$} \uput[dr](3.437,0){$D$} \rput(1,1){Terrain} \rput(3.2,1.2){Cuve} \rput(4.7,0.5){Terrain} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2) \end{pspicture*}\]




Partie A   L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.

  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $I$.
  2. On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    2. On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y=2$, $x=2$ et $x=2e$.
      $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
      Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    1. Montrer que, sur l'intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par
      \[G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-\dfrac{x^2}{4}\]

      est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$.
    3. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m3 près.


Partie B   Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 2e],

\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]


\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2) \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){ \psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}} } \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75) \psline(5.08,1.75)(2,1.5) } \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.5) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.3) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37) \uput[d](5.2,0.3){$x$} \uput[l](0,1.37){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} \end{pspicture}\]


  1. Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l'algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
    \[\begin{tabular}{|ll|}\hline Variables:&$a$ est un r\'eel\\ &$b$ est un r\'eel\\ Traitement:&$a$ prend la valeur 2\\ &$b$ prend la valeur 2 e\\ &Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\ Si $v(c) < V/2$, alors :\\ \hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $a$ prend la valeur c\\ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0.4cm} \begin{tabular}{|l} $b$ prend la valeur $c$\\ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ Sortie: &Afficher $f(c)$\\ \hline \end{tabular}\]


Correction exercice 3
Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016 6 points
Partie A  
  1. On a $f(2e)=2e\ln\lp\dfrac{2e}{2}\rp-2e+2=2e\ln(e)-2e+2=2$, car $\ln(e)=1$, et donc $B(2e;2)\in\mathcal{C}_f$.
    De même, $f(2)=2\ln\lp\dfrac{2}{2}\rp-2+2=0$, car $\ln(1)=0$, et donc $I(2;0)\in\mathcal{C}_f$.
    De plus, en $I$ le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ est $f'(2)$.
    On a, pour tout $x\geqslant2$, $f(x)=x\lp\ln(x)-\ln(2)\rp-x+2$, soit $f=uv+w$, avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=\ln(x)-\ln(2)$, donc $v'(x)=\dfrac1x$, et $w(x)=-x+2$, donc $w'(x)=-1$.
    On a alors, $f'=u'v+uv'+w'$, soit $f'(x)=\ln(x)-\ln(2)+x\dfrac1x-1=\ln(x)-\ln(2) =\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    Ainsi, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $I$ a pour coefficient directeur $f'(2)=\ln(1)=0$ et passe par $I$: c'est l'axe des abscisses.
    1. Une équation de $\mathcal{T}$ est: $y=f'(2e)(x-2e)+f(2e)$, avec $f'(2e)=\ln(e)=1$ et $f(2e)=2$, d'où $\mathcal{T}: y=x-2e+2$.

      On a alors $D(x_D;y_D)$ avec $y_D=0=x_D-2e+2\iff x_D=2e-2$. Ainsi, $D(2e-2;0)$.
    2. L'aire de $ABI$, trangle rectangle en $I$, est $\dfrac{AI\times AB}{2}=\dfrac{2\times(2e-2)}{2}=2e-2$
      et l'aire du trapèze $AIDB$ est $\dfrac{(AB+ID)\times AI}{2}=\dfrac{(2e-2+2e-2-2)\times2}{2}=4e-6$.
      Ainsi le volume $V$ de la cuve est tel que
      \[5e\leqslant V\leqslant 5(4e-6)\]

      soit approximativement
      \[17,18\leqslant V\leqslant 24,37\]

    1. On a $G=uv-w$ avec $u(x)=x^2/2$, donc $u'(x)=x$, $v(x)=\ln\lp\dfrac{x}2\rp=\ln(x)-\ln(2)$, donc $v'(x)=1/x$, et $w(x)=x^2/4$, donc $w'(x)=x/2$.
      On a alors, $G'=u'v+uv'-w'$, soit
      \[\begin{array}{ll} G'(x)&=x\ln\lp\dfrac{x}2\rp+\dfrac{x^2}{2}\tm\dfrac1x-\dfrac{x}{2}\\[1em] &=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}\\[.8em] &=g(x)\enar\]

      ce qui montre que $G$ est bien une primitive de $g$.
    2. On en déduit qu'une primitive de $f$ définie par $f(x)=g(x)-x+2$ est donnée par
      \[F(x)=G(x)-\dfrac12x^2+2x\]

    3. On peut alors calculer l'intégrale:
      \[\begin{array}{ll} S&\dsp=\int_2^{2e}\Bigl(2-f(x)\Bigr)dx\\[1em] &=\Bigl[ 2x-F(x)\Bigr]_2^{2e}\\[1em] &=\Bigl[ -G(x)+\dfrac12x^2\Bigr]_2^{2e}\\[1em] &=-G(2e)+\dfrac12(2e)^2-\Bigl(-G(2)+\dfrac122^2\Bigr)\\[.7em] &=G(2)-G(2e)+2e^2-2 \enar\]

      avec $G(2)=2\ln(1)-1=-1$, et $G(2e)=2e^2\ln(e)-e^2=e^2$, donc
      \[S=-1-e^2+2e^2-2=e^2-3\]

      et on en déduit le volume de la cuve: $V=5S=5(e^2-3)\simeq 22\,m^3$.




Partie B
  1. Le volume est $v(x)$ avec $x$ tel que $f(x)=1$. On cherche donc à résoudre l'équation $f(x)=1$, avec $f(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2$.
    On ne sait pas résoudre excactement cette équation. On peut par contre le faire de manière approchée, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
    On sait que $f'(x)=\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$, d'après A.1. et donc, comme $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$, que pour tout $x\in[2;2e]$, $f'(x)> \ln\lp\dfrac{2}{2}\rp=0$.
    Ainsi $f$ est strictement croissante sur $[2;2e]$, avec de plus $f(2)=0$ et $f(2e)=2$. On en déduit, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), qu'il existe une unique solution $\alpha\in[2;2e]$ à l'équation $f(x)=1$.
    Avec la calculatrice (à l'aide d'un tableau de valeurs, ou par dichotomie par exemple), on trouve $\alpha\simeq4,3$, et alors le volume est de $v(\alpha)\simeq 7,3\simeq 7 m^3$.
  2. Cet algorithme est un algorithme de recherche par dichotomie.
    Il permet de chercher les valeurs d'un encadrement $[a;b]$ pour lequel la hauteur $c$ correspond à la moitié de la cuve.
    Cet encadrement permet d'avoir un résultat précis à $10^{-3}$ près.



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Voir aussi:
ccc