Bac 2024 (19 juin): Logarithme, variation, limites et TVI, convexité et intégrale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Partie A : étude de la fonction $f$


La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=x-2+\frac{1}{2} \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
    1. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
    2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $] 0$; $+\infty\left[\right.$, on a : $f'(x)=\dfrac{2 x+1}{2 x}$.
    3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.
    4. Étudier la convexité de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.

    1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $] 0 ;+\infty$ [ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1 ; 2]$.
    2. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in] 0 ;+\infty[$.
    3. Montrer que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.



Partie B : étude de la fonction $g$

La fonction $g$ est définie sur $] 0 ; 1]$ par $g(x)=-\frac{7}{8} x^{2}+x-\frac{1}{4} x^{2} \ln x$.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0 ; 1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
  1. Calculer $g'(x)$ pour $x \in] 0 ; 1]$ puis vérifier que $g'(x)=x f\lp\frac{1}{x}\rp$.
    1. Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $] 0 ; \frac1\alpha\left[\right.$, on a $f\lp\frac1x\rp>0$.
    2. On admet le tableau de signes suivant :
      \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & 0 && $\frac1\alpha$ && 1 \\ \hline Signe de $f\lp\frac{1}{x}\rp$ && $+$ & 0 & $-$& \\\hline \end{tabular} \]




Partie C : un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :
  • La courbe $C_{g}$ de la fonction $g$;
  • La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\frac{7}{8} x^{2}+x$ sur l'intervalle $\left.] 0 ; 1\right]$.


\[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-.4,-.2)(1.2,.5) \newcommand{\fctg}[1]{-7 8 div #1 2 exp mul #1 add -0.25 #1 2 exp mul #1 ln mul add} \newcommand{\fctP}[1]{-7 8 div #1 2 exp mul #1 add} \pscustom{ \psplot{.58}{1}{\fctg{x}} \gsave \psplot{1}{.58}{\fctP{x}} \fill[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline{->}(-.05,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-.05)(0,.5) \newcommand{\divdx}[1]{#1 10 div} \multido{\i=0+1}{11}{\psline(! \divdx{\i} \space .01)(! \divdx{\i} \space -.01) \psline[linestyle=dotted](! \divdx{\i} \space -.01)(! \divdx{\i} \space .5)} \multido{\i=1+1}{4}{\psline(! .01 \space \divdx{\i})(! -.01 \space \divdx{\i}) \psline[linestyle=dotted](! .01 \space \divdx{\i})(! 1.1 \space \divdx{\i})} \psplot{.001}{1}{\fctg{x}} \psplot{.001}{1}{\fctP{x}} \psline[linestyle=dashed](.58,0)(.58,.33) \rput(-.02,-.02){$O$} \rput[r](-.02,.1){$0,1$} \rput(.1,-.04){$0,1$} \rput(.58,-.04){$\frac1\alpha$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,.12) \rput(1,-.04){$1$} \rput[l](.72,.33){$\mathcal{C}_g$} \rput[l](.72,.23){$\mathcal{P}$} \end{pspicture*}\]


On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x=\frac{1}{\alpha}$ et $x=1$.
On rappelle que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.
    1. Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $] 0 ; 1]$.
    2. Démontrer l'égalité :
      \[\int_{\frac1\alpha}^1 x^2 \ln x dx = \frac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}}\]


  2. En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.

Correction


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