Bac 2014 (Antilles-Guyane) - Étude de fonctions, limites, TVI, tangente, intégrale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par

On note sa courbe représentative.
 
Partie A
  1. Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble par . Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur (les limites de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de .
  2. Déterminer la limite de en puis la limite de en .
  3. On appelle la dérivée de la fonction sur .
    Démontrer que, pour tout réel , .
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur .
  5. Démontrer que l'équation admet une unique solution réelle sur . Démontrer que .
    1. Démontrer que la droite d'équation est tangente à la courbe au point d'abscisse .
    2. Étudier la position relative de la courbe et de la droite .




Partie B
  1. Soit la fonction définie et dérivable sur par .
    Démontrer que est une primitive sur de la fonction définie par .
  2. On note le domaine délimité par la courbe , la droite et les droites d'équation et . Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine .

Correction


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