Bac 2014 (Antilles-Guyane) - Étude de fonctions, limites, TVI, tangente, intégrale

On considère la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par

On note sa courbe représentative.
Partie A

1. Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble par . Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur (les limites de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de .
2. Déterminer la limite de en puis la limite de en .
3. On appelle la dérivée de la fonction sur .
   Démontrer que, pour tout réel , .
4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur .
5. Démontrer que l'équation admet une unique solution réelle sur . Démontrer que .
6. 1. Démontrer que la droite d'équation est tangente à la courbe au point d'abscisse .
   2. Étudier la position relative de la courbe et de la droite .

Partie B

1. Soit la fonction définie et dérivable sur par .
   Démontrer que est une primitive sur de la fonction définie par .
2. On note le domaine délimité par la courbe , la droite et les droites d'équation et . Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine .

Correction

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