Oral du bac: convexité, exponentielle - Suite récurrente
Terminale générale, spécialité mathématiques
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Suite récurrente avec suite auxiliaire
On considère la suite définie par et, pour
tout entier naturel ,
On pose, pour tout entier naturel , .
Cacher la correction
On pose, pour tout entier naturel , .
- Pour tout nombre entier naturel , calculer en
fonction de .
Quelle est la nature de la suite ?
- En déduire l'expression de en fonction de .
- Etudier la convergence de la suite .
Correction exercice 1
- Pour tout nombre entier naturel ,
.
On en déduit que est géométrique de raison et de premier terme .
- D'après la question précédente,
pour tout entier ,
,
et donc que,
pour tout entier n ,
.
- Comme , , et donc, .
Cacher la correction
Exercice 2: Variations et courbe d'une fonction avec une exponentielle, convexité
On considère la fonction définie sur par .
Cacher la correction
- Étudier les variations de .
- Tracer l'allure de la courbe représentative de .
- Étudier la convexité de et préciser les éventuels points d'inflexion.
Correction exercice 2
- On a un produit avec donc ,
et donc .
Ainsi, , soit .
Le sens de variation est alors donné par le signe de la dérivée.
-
- La convexité est donnée par le signe de la dérivée seconde.
On dérive donc .
On a et donc
Ainsi, est concave sur , tandis qu'elle est convexe sur .
Enfin, le point d'abscisse est le seul point d'inflexion de la courbe de .
Cacher la correction
Voir aussi: