Oral du bac: convexité, exponentielle - Suite récurrente
exponentielle et convexité, suites
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Suite récurrente avec suite auxiliaire
On considère la suite
définie par
et, pour
tout entier naturel
,
On pose, pour tout entier naturel
,
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exauxbis/1.png)
![$u_0=1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exauxbis/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exauxbis/3.png)
![$\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exauxbis/4.png)
On pose, pour tout entier naturel
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exauxbis/5.png)
![$v_n=u_n-6$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exauxbis/6.png)
- Pour tout nombre entier naturel
, calculer
en fonction de
.
Quelle est la nature de la suite?
- En déduire l'expression de
en fonction de
.
- Etudier la convergence de la suite
.
Correction exercice 1
Cacher la correction
- Pour tout nombre entier naturel
,
.
On en déduit queest géométrique de raison
et de premier terme
.
- D'après la question précédente,
pour tout entier
,
, et donc que, pour tout entier n ,
.
- Comme
,
, et donc,
.
Cacher la correction
Exercice 2: Variations et courbe d'une fonction avec une exponentielle, convexité
On considère la fonction
définie sur
par
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOralexp/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOralexp/2.png)
![$f(x)=(1+x)e^x$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOralexp/3.png)
- Étudier les variations de
.
- Tracer l'allure de la courbe représentative de
.
- Étudier la convexité de
et préciser les éventuels points d'inflexion.
Correction exercice 2
Cacher la correction
- On a un produit
avec
donc
, et
donc
.
Ainsi,, soit
.
Le sens de variation est alors donné par le signe de la dérivée.
-
- La convexité est donnée par le signe de la dérivée seconde.
On dérive donc
.
On aet donc
Ainsi,est concave sur
, tandis qu'elle est convexe sur
.
Enfin, le point d'abscisseest le seul point d'inflexion de la courbe de
.
Cacher la correction
Voir aussi: