Suite auxiliaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

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