Droites du plan - Vecteur normal et équation cartésienne


Avant propos: À voir, connaître aussi, avant:
La notion fondamentale pour tout ce qui suit: l'orthogonalité de deux vecteurs. Exercices corrigés sur le produit scalaire:

Vecteur normal - Définition et propriétés


Définition
Un vecteur $\vec{n}$ est normal à une droite $d$ lorsqu'il est orthogonal à la direction de $d$.
\[\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,1.8) \psline(-0.9,-0.3)(4.2,1.4)\rput(3.7,1.5){$d$}\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(.6,.2)(.25,1.5)\rput(-.1,.8){\red$\V{n}$}\psline(.5,.5)(.85,.63)(.95,.3)\end{pspicture}\]

Conséquences:
  • Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, on a $\vec{u}\perp\vec{n}\iff\vec{u}\cdot\vec{n}=0$.
    (voir, pour le produit scalaire et avec des coordonnées)

  • Si $A$ est un point de la droite $d$, alors $d$ est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\V{AM}\cdot\vec{n}=0$.



Propriété
Le vecteur $\vec{n}(a;b)$ est un vecteur normal à la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.


Exercices corrigés


Exercice 1
Soit $d: 2x-3y+6=0$.
Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de $d$.


Exercice 2
Déterminer l'équation de la droite de vecteur normal $\vec{n}(2;3)$ et passant par $A(-1;2)$.


Exercice 3
Soit $A(3;2)$ et $B(8;10)$.
Déterminer l'équation de la droite $d$ perpendiculaire à la droite $(AB)$ en $A$.


Exercice 4
$ABC$ est un triangle tel que $A(3;-2)$, $B(0;-1)$ et $C(1;3)$.
  1. Déterminer une équation de la médiatrice du segment $[AB]$.
  2. Déterminer une équation de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.


Exercice 5
Dans un RON, on considère les points $A(-3;0)$, $B(3;-1)$ et $C(1;5)$.
  1. Déterminer une équation de la droite $d_1$ perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C$.
  2. Déterminer une équation de la droite $d_2$ parallèle à $(AB)$ et passant par $C$.

Voir aussi
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