Rentabilité et bénéfice maximal d'une usine

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Monsieur Dupré, PDG d'une société fabriquant du mobilier urbain, s'intéresse au bénéfice réalisé par sa société.
Il fabrique et vend, par semaine, $x$ lots de mobilier.
Le coût unitaire de production, en euros, $f(x)$ (coût de production pour un lot de mobilier) s'exprime en fonction du nombre de lots $x$ par l'expression: $f(x)=x+72$.
A ce coût unitaire s'ajoute des frais de fonctionnement de l'usine de production s'élevant à 3 952 euros par semaine, quelle que soit la quantité de lots produite.
  1. Chaque lot est vendu 200 euros. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ lots produits et vendus est:
    \[ B(x)=-x^2+128x-3952\]


  2. Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a $B(x)= (x-52)(76-x)$. Déterminer alors le nombre de lots que doit produire et fabriquer la société pour être rentable (pour avoir un bénéfice positif …).
  3. Montrer que $B(x)=-(x-64)^2+144$.
    Etudier alors les variations de $B$ sur $[0;64]$.
    On admet pour la suite que la fonction $B$ est décroissante sur $[64;+\infty[$.
    Dresser le tableau de variations de $B$.
  4. Quel est le bénéfice maximal que peut espérer Monsieur Dupré ? Pour combien de lots fabriqués et vendus ?



Correction

Correction

  1. $x$ lots produits et vendus rapportent $200 x$ euros. La production de ces $x$ lots coûtent $x\times f(x)=x(x+72)$ euros plus 3952 euros. Ainsi, le bénéfice est $B(x)=200x - \Big( x(x+72)+3952\Big)=-x^2+128x-3952$.
  2. En développant, on a $(x-52)(76-x)=76x-x^2+52x-52\tm76=-x^2+128x-3952=B(x)$. Ainsi, le bénéfice pour $x$ lots produits et vendus est $B(x)=-x^2+128x-3952 = (x-52)(76-x)$.
    \[ \begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $52$ & & $76$ & & $+\infty$ \\\hline $x-52$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $76-x$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $B(x)$& & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline \end{tabular} \]


    La société est rentable lorsque le bénéfice est positif, soit donc lorsque le nombre de lots $x$ produits et vendus est compris entre $52$ et $76$ lots.

  3. $-(x-64)^2+144=-(x^2-128x+64^2)+144=-x^2+128x-3952=B(x)$. Ainsi, pour tout $x$, $B(x)=-(x-64)^2+144$.


    Soit $a$ et $b$ deux nombres quelconques de $[0;64]$ tels que $0\leq a< b\leq 64$,

    alors $-64\leq a-64<b-64\leq 0$,
    donc, $64^2\geq (a-64)^2>(b-64)^2\geq 0$, en élevant au carré des nombres négatifs,
    d'où, $-64^2\leq -(a-64)^2<(b-64)^2\leq 0$, en multipliant par $-1<0$
    soit, $-64^2+144\leq f(a)<f(b)\leq 144$

    donc, $f$ est croissante sur $[0;64]$


    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $0$ & & $64$ & & $+\infty$ \\\hline & & & $144$ &&\\ $B(x)$ & & \Large{$\nearrow$}& &\Large{$\searrow$}& \\ & $-3952$ & &&&\\\hline \end{tabular} \]


  4. Le bénéfice maximum que peut espérer M. Duspré est de $144$ euros, pour $64$ lots produits et vendus. (remarque: pour $x=64$ lots la société est bien rentable, cf. question 1)).


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