Détermination de l'expression d'une fonction du 2nd degré

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé


On considère la fonction $f$ définie par
\[f(x)=x^2+ax+b\]

où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on cherche à déterminer.

On souhaite que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$, passe par les points $A(-1;6)$ et $B(1;2)$.
 
Déterminer les réels $a$ et $b$ et donner l'expression de la fonction $f$ vérifiant ces deux conditions.

$$(-2,1.)(2,8) \psline[linewidth=1pt]{->}(-2.3,0)(3.5,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.4)(0,8.5) \rput(-0.3,-0.3){$O$} \rput(1,-0.3){$1$}\rput(-0.15,1.25){$1$} \multido{\i=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-0.15)(\i,8.2)} \multido{\i=1+1}{8}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(3.2,\i)} \psplot[linewidth=1.3pt]{-1.5}{3.1}{x 2 exp -2 x mul add 3 add} \rput(-1.65,7.5){$\mathcal{C}_f$} \rput(-1,6){\Large $\tm$}\rput(-1.3,5.7){$A$} \rput(1,2){\Large $\tm$}\rput(1.3,1.7){$B$} $$




Correction

Correction

Le point $A(-1;6)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, donc, $f(-1)=6$, soit
\[\begin{array}{ll}f(-1)&=(-1)^2+a(-1)+b\\[.4em]&=1-a+b=6\enar\]



De même le point $B(1;2)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, donc, $f(1)=2$, soit
\[\begin{array}{ll}f(1)&=1^2+a\tm1+b\\[.4em]&=1+a+b=2\enar\]


En résumé, on a le système de deux équations:
\[\la\begin{array}{rcrcrcc} 1 &-& a &+& b &=& 6 \\ 1 &+& a &+& b &=& 2\end{array} \right. \iff \la\begin{array}{rcrcc} -a &+& b &=& 5 \\ a &+& b &=& 1\end{array} \right.\]


En ajoutant les deux équations, on trouve $2b=6$, soit $b=3$.
En soustrayant les deux équations, on trouve $-2a=4$ soit $a=-2$.

En remplaçant finalement les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ dans l'expression de $f(x)$, on trouve donc l'expression: $f(x)=x^2-2x+3$.


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