Fonction: variation, courbe et inéquations graphiques et algébriques

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=(x-2)^2-3$ définie sur $[-1;5]$.
  1. Décomposer la fonction $f$ en une suite d'opérations élémentaires.
  2. Déterminer le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-1;2]$.
    On admet ensuite que la fonction $f$ est croissante sur $[2;5]$. Donner alors le tableau de variation de $f$ sur $[-1;5]$.
  3. Tracer dans un repère l'allure de la courbe représentative de $f$ (on pourra s'aider d'un rapide tableau de valeurs).
  4. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\leqslant1$.
  5. Tracer sur le graphique précédent la courbe de la fonction $g$ définie par $g(x)=-x+1$.
    Résoudre alors graphiquement l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$.

    Bonus: Résoudre exactement, par le calcul, l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$. (on pourra penser à développer l'expression de $f(x)$).



Correction

Correction

On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=(x-2)^2-3$ définie sur $[-1;5]$.

  1. \[\psset{arrowsize=6pt}\begin{pspicture}(-1,-1)(10,.2) \rput(0,0){$x$} \psline{->}(.2,0)(1.2,0)\rput(.6,.3){$-2$} \rput[l](1.3,0){$x-2$} \psline{->}(2.4,0)(3.6,0)\rput(3,.3){carr\'e} \rput[l](3.8,0){$(x-2)^2$} \psline{->}(5.4,0)(6.6,0)\rput(5.9,.3){$-3$} \rput[l](6.8,0){$(x-2)^2-3$} \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.3)(0,-1)(8.5,-1)(8.5,-.3) \rput(3.5,-.7){$f$} \end{pspicture}\]


  2. Soit deux nombres réels quelconques $a$ et $b$ tels que $-1\leqslant a<b\leqslant 2$
    alors $-3\leqslant a-2<b-2\leqslant0$
    donc $9\geqslant (a-2)^2>(b-2)^2\geqslant0$: carré de nombres négatifs change l'ordre
    d'où $6\geqslant (a-2)^2-3>(b-2)^2-3\geqslant-3$
    soit donc $6\geqslant f(a)>f(b)\geqslant-3$
    c'est-à-dire que $f$ change l'ordre et est donc décroissante sur $[-1;2]$.
    On a donc trouvé le tableau de variation
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-1$ && 2 && 5 \\\hline &6&&&&6\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-3$&&\\\hline \end{tabular}\]


  3. Avec éventuellement un tableau de valeurs pour compléter le tableau de variation précédent:
    \[\begin{tabular}{|c|*7{p{2em}|}}\hline $x$&$-1$&0&1&2&3&4&5\\\hline $f(x)$&6&1&$-2$&$-3$&$-2$&1&6\\\hline \end{tabular}\]



    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-2,-5)(6.5,7.4) \psline{->}(-2,0)(6,0) \psline{->}(0,-5)(0,7.4) \multido{\i=-1+1}{7}{\psline[linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,7.2)\rput(\i,-.3){$\i$}} \multido{\i=-4+1}{12}{\psline[linestyle=dashed](-1.2,\i)(5.2,\i)\rput[r](-.1,\i){$\i$}} \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red]{-1}{5}{x 2 sub 2 exp 5 sub} \rput(4,4){\red$\mathcal{C}_f$} \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-3}{5}{-1 x mul 1 add} \rput(-1.5,2){\blue$\mathcal{C}_g$} \psline[linewidth=1.6pt,linecolor=magenta](-2,1)(7,1) \end{pspicture*}\]


  4. Graphiquement on trouve que $f(x)\leqslant1$ pour $x\in[0;4]$.
  5. Graphiquement on trouve que $f(x)\leqslant g(x)$ pour $x\in[0;3]$


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