Cinq équations, fractions, quotients, carré...

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Résoudre les équations:

$(E_1):\ (2x-3)(x+6)=(x+6)$
$(E_2):\ x^2(2x+6)=11(2x+6)$
$(E_3):\ \dfrac{4}{2x+5}=\dfrac{1}{x-3}$
$(E_4):\ (3x+1)^2=25$
$(E_5):\ x\sqrt3+5=5x+\sqrt2$

Correction

On met les termes du même côté, puis on factorise le terme commun:

$\begin{array}{rl}(E_1):\iff &(2x-3)(x+6)-(x+6)=0\\ \iff &(x+6)\Big[(2x-3)-1\Big]=0\\ \iff &(x+6)\left[ 2x-4\rb=0\enar$

et on a maintenant une équation produit nul:

$(E_1)\iff\la\begin{array}{lll} &x+6=0 \\ \mbox{ou, } &2x-4=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=-6 \\ \mbox{ou, } x=2\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ -6\,;\,2\right\}$
On met les termes du même côté, puis on factorise le terme commun:

$\begin{array}{rl}(E_2)\iff &x^2(2x+6)-11(2x+6)=0\\[.5em] \iff &\left( x^2-11\rp(2x+6)=0\enar$

et on a alors une équation produit nul:

$(E_2)\iff \la\begin{array}{rl}x^2-11=0 \\ \mbox{ou, } 2x+6=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-\sqrt{11}\ \mbox{ou, } x=\sqrt{11} \\ \mbox{ou, } x=-3\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_2=\left\{ -3\,;\,-\sqrt{11}\,;\,\sqrt{11}\right\}$
On met les termes du même côté, puis on sosutrait les deux fractions en les écrivant sur le même dénominateur:

$\dfrac{4}{2x+5}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2x-17}{(2x+5)(x-3)}=0$

et on a alors une équation quotient nul:

$(E_3)\iff \iff \la\begin{array}{rl}2x-17=0 \\ \mbox{et, }(2x+5)(x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=\dfrac{17}{2} \\ \mbox{et, }&x\not=-\dfrac{5}{2}\ \mbox{et, } x\not=3\enar\right.$

d'où la solution $\mathcal{S}_3=\left\{ \dfrac{17}{2}\right\}$
$(E_4):\ (3x+1)^2=25 \iff \la\begin{array}{rl}3x+1=-5 \\ \mbox{ou, }3x+1=5\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-2 \\ \mbox{ou, }x=\dfrac43\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_4=\left\{ -2\,;\,\dfrac43 \right\}$
$(E_5):\ x\sqrt3+5=5x+\sqrt2\iff x\sqrt3-5x=\sqrt2-5\iff x(\sqrt4-5)=\sqrt2-5$
d'où la solution $\mathcal{S}_5=\left\{ \dfrac{\sqrt2-5}{\sqrt3-5}\right\}$ .