Trois équations, carré, quotient

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Résoudre les équations:
  1. $(E_1):\ 4x^2+2x+1=2x^2+x+1$
  2. $(E_2):\ \dfrac{2}{x+5}=\dfrac{3}{x-3}$
  3. $(E_3):\ (3x-1)^2=36$



Correction

Correction

  1. On met les termes du même côté, puis on factorise le terme commun:
    \[(E_1) \iff 2x^2+x=0 \iff x(2x+1)=0\]

    et on a maintenant une équation produit nul:
    \[(E_1)\iff\la\begin{array}{lll} &x=0 \\ \mbox{ou, } &2x+1=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=0 \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac12\enar\right.\]

    d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ 0\,;\,-\dfrac12\right\}$

  2. On met les termes du même côté, puis on soustrait les deux fractions en les écrivant sur le même dénominateur:
    \[\dfrac{2}{x+5}-\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{-x-21}{(x+5)(x-3)}=0\]

    et on a alors une équation quotient nul:
    \[(E_2)\iff \iff \la\begin{array}{rl}-x-21=0 \\ \mbox{et, }(x+5)(x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=-21 \\ \mbox{et, }&x\not=-5\ \mbox{et, } x\not=3\enar\right. \]


    d'où la solution $\mathcal{S}_2=\Bigl\{ -21\Bigr\}$
  3. $(E_3):\ (3x-1)^2=36 \iff \la\begin{array}{rl}3x-1=-\sqrt{36}=-6 \\[.8em] \mbox{ou, }3x-1=\sqrt{36}=6\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-\dfrac53 \\[1em] \mbox{ou, }x=\dfrac73\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_3=\left\{ -\dfrac53\,;\,\dfrac73 \right\}$


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