Six équations un peu plus corsées, fractions et quotients...

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Résoudre les équations:

${ll} $(E_1): \dfrac{\sqrt3}{2}x+\pi=1$ & $(E_2)$: $\dfrac{5x+1}{4}=\dfrac{3-7x}{2}$ \\[0.5cm] $(E_3)$: $\sqrt{\dfrac{5x-5}{2x+2}}=7$ & $(E_4)$: $\dfrac{2+4x}{3+6x}\lp2x+1\rp=\dfrac{2+4x}{3+6x}\lp3x-1\rp$ \\[0.7cm] $(E_5):\lp\dfrac{6x+4}{3x}+10\rp\lp12-x^2\rp=0$ & $(E_6):\sqrt{\dfrac{3x^2+1}{3}}=x$$

Correction

C'est une équaton du 1er degré: $(E_1)\iff \dfrac{\sqrt3}{2}x=1-\pi\iff x=\dfrac{1-\pi}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\lp1-\pi\rp}{\sqrt3}$ .
Ainsi, $\mathcal{S}=\la\dfrac{2\lp1-\pi\rp}{\sqrt3}\ra$ .

$(E_2)\iff\dfrac{5x+1}{4}-\dfrac{2(3-7x)}{4}=0 \iff \dfrac{19x-5}{4}=0 \iff x=\dfrac{5}{19}$ . Ainsi, $\mathcal{S}=\la\dfrac{5}{19}\ra$ .

$(E_3)\iff \la\begin{array}{ll} \dfrac{5x-5}{2x+2}=7^2=49 \iff \dfrac{5x-5}{2x+2}-49=0 \iff \dfrac{-93x-103}{2x+2}=0\\[.4cm] \dfrac{5x-5}{2x+2}\geqslant0 \enar\right.$
La première équation est une équation quotient nul: $\la\begin{array}{ll} -93x-103=0 \\[.3cm]\text{et } 2x+2\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-\dfrac{103}{93}=0 \\[.3cm]\text{et } x\not=-1\enar\right.$
Et on vérifie bien que, pour $x=-\dfrac{103}{93}$ , $\dfrac{5x-5}{2x+2}=49\geqslant0$ . Ainsi, $\mathcal{S}=\la-\dfrac{103}{93}\ra$ .

$\begin{array}{ll}(E_4)&\iff \dfrac{2+4x}{3+6x}\lp2x+1\rp-\dfrac{2+4x}{3+6x}\lp3x-1\rp=0 \iff \dfrac{2+4x}{3+6x}\Bigl[ \lp2x+1\rp-\lp3x-1\rp\Bigr]=0\\[.5cm] &\iff \dfrac{2+4x}{3+6x}\Bigl[ -x+2\Bigr]=0 \iff \la\begin{array}{ll} 2+4x=0 \text{ ou } -x+2=0\\[.3cm]\text{et } 3+6x\not=0\enar\right.\\[.5cm] &\iff \la\begin{array}{ll} x=-\dfrac42=-\dfrac12 \text{ ou } x=2\\[.3cm]\text{et } x\not=-\dfrac36=-\dfrac12\enar\right. \qquad\text{Ainsi, }\mathcal{S}=\Bigl\{2\Bigr\} \enar$

$\begin{array}{ll}(E_5)&\iff \la\begin{array}{ll}\dfrac{6x+4}{3x}+10=0\\[.3cm]\text{ou } 12-x^2=0\enar\right. \iff\la\begin{array}{ll}\dfrac{36x+4}{3x}=0\\[.3cm]\text{ou } x^2=12\enar\right. \iff\la\begin{array}{ll}36x+4=0\text{ et } 3x\not=0\\[.3cm]\text{ou }x=\sqrt{12}\text{ ou} x=-\sqrt{12}\enar\right.\\[.7cm] &\iff\la\begin{array}{ll}x=-\dfrac{4}{36}=-\dfrac{1}{9}\text{ et } x\not=0\\[.3cm]\text{ou }x=2\sqrt{3}\text{ ou} x=-2\sqrt{3}\enar\right. \qquad\text{Ainsi, }\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -2\sqrt{3}\ ;2\sqrt{3}\ ;-\dfrac19\ra \enar$

$(E_6): \sqrt{\dfrac{3x^2+1}{3}}=x$ . L'équation n'a pas de solution pour

.
Pour $x\geqslant0$ et , $\dfrac{3x^2+1}{3}\geqslant0$ , $(E_6)\iff \dfrac{3x^2+1}{3}=x^2 \iff \dfrac{3x^2+1}{3}-\dfrac{3x^2}{3}=0 \iff \dfrac{1}{3}=0$ , ce qui est impossible.
Ainsi, cette équation n'a aucune solution: $\mathcal{S}=\emptyset$ .

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