Devoir de maths corrigé, Probabilité et inéquations (tableaux de signes)

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les probabilités (arbres de probabilités), et quelques inéquations (tableaux de signes), posé en seconde générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Des trinômes d'élèves qui connaissent leur cours

Dans une classe de 30 élèves, 10 élèves connaissent parfaitement leur cours.
Je désigne dans cette classe successivement trois élèves au hasard pour former un groupe de travail.
  1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.
  2. Quelle est la probabilité pour que, dans ce groupe, aucun élève ne connaisse parfaitement son cours ?
  3. Quelle est la probabilité pour que tous les élèves du groupe connaissent parfaitement leur cours ?
  4. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un élève du groupe connaisse parfaitement son cours ?

Correction exercice 1


1. On note $C$:"l'élève désigné connaît parfaitement son cours"


$$(-0.5,-3.4)(5,3.8) \psline(1.5,2)(0,0)(1.5,-2) \rput(0.7,1.5){$\dfrac{10}{30}$}\rput(1.7,2){$C$} \rput(0.7,-1.5){$\dfrac{20}{30}$}\rput(1.7,-2){$\overline{C}$} % \psline(3.5,3)(2,2)(3.5,1) \rput(2.7,2.9){$\dfrac{9}{29}$}\rput(3.7,3){$C$} \rput(2.7,1){$\dfrac{20}{29}$}\rput(3.7,1){$\overline{C}$} % \psline(5.5,3.5)(4,3)(5.5,2.5) \rput(4.8,3.6){$\frac{8}{28}$}\rput(5.7,3.5){$C$} \rput(4.8,2.4){$\frac{20}{28}$}\rput(5.7,2.5){$\overline{C}$} \psline(5.5,1.5)(4,1)(5.5,.5) \rput(4.8,1.6){$\frac{9}{28}$}\rput(5.7,1.5){$C$} \rput(4.8,.4){$\frac{19}{28}$}\rput(5.7,.5){$\overline{C}$} %% \psline(3.5,-3)(2,-2)(3.5,-1) \rput(2.7,-3){$\dfrac{19}{29}$}\rput(3.7,-3){$\overline{C}$} \rput(2.7,-1){$\dfrac{10}{29}$}\rput(3.7,-1){$C$} % \psline(5.5,-3.5)(4,-3)(5.5,-2.5) \rput(4.8,-3.7){$\frac{18}{28}$}\rput(5.7,-3.5){$\overline{C}$} \rput(4.8,-2.4){$\frac{10}{28}$}\rput(5.7,-2.5){$C$} \psline(5.5,-1.5)(4,-1)(5.5,-.5) \rput(4.8,-1.6){$\frac{19}{28}$}\rput(5.7,-1.5){$\overline{C}$} \rput(4.8,-.4){$\frac{9}{28}$}\rput(5.7,-.5){$C$} $$

2. $P=\dfrac{20}{30}\tm\dfrac{19}{29}\tm\dfrac{18}{28}=\dfrac{57}{203}\simeq 0,28$
 
3. $P=\dfrac{10}{30}\tm\dfrac{9}{29}\tm\dfrac{8}{28}=\dfrac{6}{203}\simeq 0,030$
 
4. L'événement "Au moins un élève connaît parfaitement son cours" est le contraire de "aucun élève ne connaît son cours".
Ainsi, d'après la question 2., la probabilité est d'environ $1-\dfrac{57}{203}=\dfrac{146}{203}\simeq0,72$.


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Exercice 2: Chaîne de production de vêtements avec des défauts

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements. Une étude statistique a montré que:
  • 12% des vêtements ont un défaut de couleur,
  • parmi les vêtements ayant un défaut de couleur, 20% ont un défaut dans la forme,
  • parmi les vêtements n'ayant pas de défaut de couleur, 8% présentent un défaut dans la forme.
On prélève un vêtement au hasard à la sortie de la chaîne de production.
On note par la suite les événements $C$: "le vêtement présente un défaut de couleur" et $F$: "le vêtement présente un défaut dans la forme".
  1. Compléter l'arbre pondéré suivant décrivant la situation:
    \[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$C$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$F$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{F}$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{C}$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$F$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{F}$} \end{pspicture}\]


    1. Calculer la probabilité que le vêtement prélevé ait un défaut de couleur et un défaut dans la forme.
    2. Calculer la probabilité que le vêtement prélevé ait un défaut de forme.
  3. Le directeur de l'usine affirme que 92% des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.
  4. Les employés de l'usine peuvent acheter des vêtements à tarif préférentiel. L'un d'entre eux achète 8 vêtements.
    Quelle est la probabilité pour qu'aucun des vêtements achetés ne présente de défaut ?

Correction exercice 2



  1. \[\psset{xunit=1.cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,1) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$C$}\rput(0.7,1.2){$12\%$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$F$}\rput(2.9,2.2){$20\%$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{F}$}\rput(2.9,0.7){$80\%$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{C}$}\rput(0.7,-1.2){$88\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$F$}\rput(2.9,-0.7){$8\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{F}$}\rput(2.9,-2.2){$92\%$} \end{pspicture}\]

    1. $P(C\cap F)=12\%\tm20\%=2,4\%$
    2. $P(F)=12\%\tm20\%+88\%\tm8\%=9,44\%$
  3. La probabilité qu'un vêtement ne présente aucun défaut est $P\lp\overline{C}\cap\overline{F}\rp=88\%\tm92\%=80,96\%$.
    Le directeur de l'usine se trompe donc.
  4. On note l'événement A: "le vêtement n'a pas de défaut" qui a la probabilité $p\simeq81\%$.
    On a alors l'arbre, en prenant successivement 8 vêtements:
    \[\psset{xunit=1.cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(0,-3)(9,3.5) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$A$}\rput(0.7,1.2){$81\%$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$A$}\rput(2.9,2.2){$81\%$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{A}$}\rput(2.9,0.7){$19\%$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{A}$}\rput(0.7,-1.2){$19\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$A$}\rput(2.9,-0.7){$81\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{A}$}\rput(2.9,-2.2){$19\%$} % \rput(5,0){$\dots$}\rput(5,-2){$\dots$} % \psline(5.5,2)(4,2.25)(5.5,2.5)\rput(5.75,2.5){$A$}\rput(5,2.75){\small$81\%$}\rput(5.9,1.8){$\dots$} \psline(6,2.5)(6.8,2.75)\rput(7.2,2.75){$\dots$} \psline(7.6,2.75)(8.5,3)\rput(8.8,3.2){$A$}\rput(8,3.25){\small$81\%$} \end{pspicture}\]

    Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à l'événement "aucun des 8 vêtements n'a un défaut" dont la probabilité est donc de
    \[p\simeq(81\%)^8\simeq0,185=18,5\%\]



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Exercice 3: Pile ou face avec une pièce sur deux truquée

J'ai dans ma poche deux pièces de monnaie, indiscernables au toucher. Une des deux pièces est bien équilibrée, l'autre est truquée: lorsqu'on la lance, on obtient "Pile" neuf fois sur dix.
Je prend une pièce au hasard dans ma poche et la lance. Quelle est la probabilité d'obtenir "Pile" ?

Correction exercice 3



\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6) \psline(0,0)(1.5,1.5) \rput[l](1.8,1.5){Pi\`ece truqu\'ee}\rput(0.7,1.2){$\dfrac12$} \psline(4,1.5)(5.5,2.25)\rput(5.75,2.25){$P$}\rput(4.7,2.2){$\dfrac{9}{10}$} \psline(4,1.5)(5.5,0.75)\rput(5.75,0.75){$F$}\rput(4.7,0.7){$\dfrac{1}{10}$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5) \rput[l](1.6,-1.5){Pi\`ece non truqu\'ee}\rput(0.7,-1.2){$\dfrac12$} \psline(4,-1.5)(5.5,-0.75)\rput(5.75,-0.75){$P$}\rput(4.7,-0.7){$\dfrac12$} \psline(4,-1.5)(5.5,-2.25)\rput(5.75,-2.25){$F$}\rput(4.7,-2.2){$\dfrac12$} \end{pspicture}\]

La probabilité d'obtenir "Pile" est alors $p=\dfrac12\tm\dfrac{9}{10}+\dfrac12\tm\dfrac12=\dfrac{14}{20} =\dfrac{7}{10}$

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Exercice 4: Deux inéquations à résoudre

Résoudre les inéquations :    $\dsp(I_1) :\ (x+3)(2x-5)\leq 0$ $\dsp(I_2) :\ \frac{2}{2x-3}\geq 1$

Correction exercice 4


$(I_1) :\ (x+3)(2x-5)\leq 0$
On peut directement dresser le tableau de signe du produit:
\[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $-3$ & & $\frac{5}{2}$ & & $+\infty$ \\\hline $x+3$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $2x-5$ & & $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline $(x-3)(5-x)$ & & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline \end{tabular}\]

D'après le tableau de signes, les solutions de $(I_1)$ sont $\mathcal{S}=\left[-3;\dfrac{5}{2}\right]$


$(I_2) :\ \dfrac{2}{2x-3}\geqslant 1 \Longleftrightarrow \dfrac{-2x+5}{2x-3}\geq 0$
\[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $\frac{3}{2}$ & & $\frac{5}{2}$ & & $+\infty$ \\\hline $-2x+5$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $2x-3$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $\frac{-2x+5}{2x-3}$ & & $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline \end{tabular}\]

D'après le tableau de signes, les solutions de $(I_1)$ sont $\mathcal{S}=\Big]\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\Big]$


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Exercice 5: Intersection et position relative de deux courbes

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions $f(x)=x+2$ et $g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$, et on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives.
  1. Préciser l'ensemble de définition de $g$.
  2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  3. On dit que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ lorsque $f(x)\geqslant g(x)$.
    Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.

Correction exercice 5


  1. La fonction $g$ est définie lorsque $x+1\not=0\iff x\not=-1$, et l'ensemble de définition de $g$ est donc
    \[\mathcal{D}_g=\R\setminus\la-1\ra\]

  2. Si $M(x;y)$ est un éventuel point d'intersection, alors on a $y=f(x)=g(x)$.
    En particulier,
    \[\begin{array}{ll}f(x)=g(x)\iff x+2=\dfrac{x^2}{x+1} \iff x+2-\dfrac{x^2}{x+1}=0\\ \iff\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+1}-\dfrac{x^2}{x+1}=0\\ \iff\dfrac{3x+2}{x+1}=0\\ \iff \left( x\not=-1 \text{ et } x=-\dfrac23\rp\enar\]

    L'ordonnée du point d'intersection est alors
    \[y=f\lp-\dfrac23\rp=-\dfrac23+2=\dfrac43\]

    Le point d'intersection est donc $M\lp-\dfrac23;\dfrac43\rp$.
  3. On cherche à résoudre l'inéquation
    \[f(x)\geqslant g(x) \iff f(x)-g(x)\geqslant 0 \iff x+2-\dfrac{x^2}{x+1} =\dfrac{3x+2}{x+1}\geqslant0\]

    que l'on résout grâce à un tableau de signes:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $-\frac23$ && $+\infty$ \\\hline $3x+2$ && $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline $x+1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $\dfrac{3x+2}{x+1}$ && $+$ &\db& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline \end{tabular}\]

    On trouve finalement que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ pour $x\in]-\infty;-1[\cup[-\frac23;+\infty[$


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Quelques autres devoirs




Voir aussi:
ccc