Calcul matriciel - Puissance n-ième
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
et
.
Calculer
pour tout
.
En déduire
.
![$A=\lp\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3/1.png)
![$B=A-I$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3/2.png)
Calculer
![$B^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3/3.png)
![$n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3/4.png)
![$A^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3/5.png)
Correction
,
 
,
 
.
On en déduit alors que, pour tout
, on a
.
On a alors
et, comme
et
commutent (
),
on peut utiliset le binôme de Newton:
![\[A^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}I^{n-k}B^k
=I^{n}+\binom{n}{1}I^{n-1}B+\binom{n}{2}I^{n-2}B^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/10.png)
soit
.
Correction
![$B=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\enar\right)$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/1.png)
![$B^2=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/2.png)
![$B^3=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp.$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/3.png)
On en déduit alors que, pour tout
![$n\geq 3$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/4.png)
![$B^n=B^3B^{n-3}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/5.png)
On a alors
![$A=I+B$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/6.png)
![$I$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/7.png)
![$B$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/8.png)
![$IB=BI=B$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/9.png)
![\[A^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}I^{n-k}B^k
=I^{n}+\binom{n}{1}I^{n-1}B+\binom{n}{2}I^{n-2}B^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/10.png)
soit
![$\displaystyle A^n=I+nB+\frac{n(n-1)}{2}B^2=
\lp\begin{array}{ccc}1&n&\frac{n(n-1)}2\\0&1&n\\0&0&1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex3_c/11.png)
Tag:Matrices
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