Variations, extrema et tangentes

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
  1. Dresser le tableau de variation de $f$. Préciser les valeurs des extrema.
  2. Calculer les équations des tangentes à $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de $f$, aux points d'abscisses 0 et 1.



Correction

Correction

  1. On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=x^2+3$ donc $v'(x)=2x$, et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{1\tm\left( x^2+1\rp-x\left( 2x\rp}{\left( x^2+1\rp^2} =\dfrac{-x^2+1}{\left( x^2+1\rp^2}$
    Le numérateur est un trinôme du second degré de racines évidentes $-1$ et $1$ (d'ailleurs, c'est une identité remarquable, $-x^2+1=-\left( x^2-1\rp=-(x+1)(x-1)$).
    Le dénominateur est un carré ne s'annulant jamais, car $x^2+1\geqslant1>0$ pour tout réel $x$, et donc tuojours strictement positif.
    On dresse alors le tableau de signe et variation:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline $-x^2+1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $-$ & \\\hline $-x^2+1$ && $+$ & $|$ & $+$ &$|$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $-$ & \\\hline &&&&&$\frac12$&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&$-\frac12$&&&&\\\hline \end{tabular}\]

  2. L'équation réduite de la tangente en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit,
    1. en 0: $y=f'(0)x+f(0)=x$
    2. en 1: $y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac12$


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