Calculs de dérivées de fonctions avec sinus et cosinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\R$ :
$f(x)=x\sin(x)$ ; $g(x)=\cos\lp3x+\dfrac\pi5\rp$ ; $h(x)=\dfrac{\cos(x)}{2+\sin(x)}$

Correction

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\R$ :

avec

donc

et $v(x)=\sin(x)$ donc $v'(x)=\cos(x)$ , et alors

, soit

$f'(x)=\sin(x)+x\cos(x)$

$g=\cos(u)$ avec $u(x)=3x+\dfrac\pi5$ donc

et alors $g'=-u'\sin(u)$ soit

$g'(x)=-3\sin\lp3x+\dfrac\pi5\rp$

$h=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\cos(x)$ donc $u'x)=-\sin(x)$ et $v(x)=2+\sin(x)$ donc $v'(x)=\cos(x)$ , et alors $h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , soit

$\begin{array}{ll}h'(x)&=\dfrac{-\sin(x)(2+\sin(x))-\cos(x)\cos(x)}{\lp2+\cos(x)\rp^2}\\[1em] &=\dfrac{-2\sin(x)-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\lp2+\cos(x)\rp^2}\\[1em] &=\dfrac{-2\sin(x)-1}{\lp2+\cos(x)\rp^2}\enar$