Variations avec la dérivée seconde

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la fonction

définie pour tout $x\in\R$ par

Calculer pour un réel.
On note la dérivée de . Donner l'expression de ?
Construire la tableau de variation de .
On sait de plus que admet trois racines qui sont des nombres entiers: .
Contruire alors le tableau de variations de .

Correction

$f'(x)=3\tm4x^3+16\tm3x^2-66\tm2x-360$ , soit

$f'(x)=12x^3+48x^2-132x-360$
On dérive la fonction précédente, $f''(x)=(f')'(x)=12\tm3x^2+48\tm2x-132$ soit

$f''(x)=36x^2+96x-132$
Les variations de sont données par le signe de sa dérivée .
La dérivée seconde est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=96^2+4\tm36\tm132=168^2>0$ et qui admet donc deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-96-168}{2\tm36}\simeq-3,7$ et $x_2=\dfrac{-96+168}{2\tm36}\simeq0,97$

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $x_1$ && $x_2$ &&$+\infty$ \\\hline $f''()$ && $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline &&&&&&&\\ $f'$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}$
On peut compléter les variations de en indiquant ses racines. On complète alors aussi avec le signe de , puis les variations de :

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &$-5$& $x_1$ &$-2$& $x_2$ &3&$+\infty$ \\\hline &&&&&&&\\ $f'$&&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.4)(.9,.7)\rput(0,0){0} &&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,.5)(.8,-.5)\rput(0,.1){0} &&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.4)(.9,.7)\rput(0,0){0}&\\ &&&&&&&\\\hline $f'(x)$&$-$&0&$+$&0&$-$&0&$+$\\\hline &&&&&&&\\ $f'$&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}$

Tag:Fonctions et dérivées

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