Variations avec la dérivée seconde

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in\R$ par $f(x) = 3x^4 + 16x^3 - 66x^2 - 360x + 120$.
  1. Calculer $f'(x)$ pour $x$ un réel.
  2. On note $f''$ la dérivée de $f'$. Donner l'expression de $f''(x)$ ?
  3. Construire la tableau de variation de $f'$.
  4. On sait de plus que $f'$ admet trois racines qui sont des nombres entiers: $f'(-5) = f'(-2) = f'(3) = 0$.
    Contruire alors le tableau de variations de $f$.



Correction

Correction

  1. $f'(x)=3\tm4x^3+16\tm3x^2-66\tm2x-360$, soit
    \[f'(x)=12x^3+48x^2-132x-360\]

  2. On dérive la fonction précédente, $f''(x)=(f')'(x)=12\tm3x^2+48\tm2x-132$ soit
    \[f''(x)=36x^2+96x-132\]

  3. Les variations de $f'$ sont données par le signe de sa dérivée $(f')'=f''$.
    La dérivée seconde $f''$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=96^2+4\tm36\tm132=168^2>0$ et qui admet donc deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-96-168}{2\tm36}\simeq-3,7$ et $x_2=\dfrac{-96+168}{2\tm36}\simeq0,97$
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $x_1$ && $x_2$ &&$+\infty$ \\\hline $f''()$ && $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline &&&&&&&\\ $f'$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]

  4. On peut compléter les variations de $f'$ en indiquant ses racines. On complète alors aussi avec le signe de $f'$, puis les variations de $f$:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &$-5$& $x_1$ &$-2$& $x_2$ &3&$+\infty$ \\\hline &&&&&&&\\ $f'$&&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.4)(.9,.7)\rput(0,0){0} &&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,.5)(.8,-.5)\rput(0,.1){0} &&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.4)(.9,.7)\rput(0,0){0}&\\ &&&&&&&\\\hline $f'(x)$&$-$&0&$+$&0&$-$&0&$+$\\\hline &&&&&&&\\ $f'$&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]



Tag:Fonctions et dérivées

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:

Quelques devoirs