Variation d'une fonction rationnelle et deux équations de tangente
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Soit la fonction
définie sur
par l'expression
.
Calculer
et dresser le tableau de variation de
(préciser les valeurs exactes des éventuels minimums et maximums).
Préciser l'équation des tangentes aux points d'abscisses
et
.
![$ f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/1.png)
![$ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-\dfrac14\right\}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/2.png)
![$ f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/3.png)
Calculer
![$ f'(x)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/4.png)
![$ f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/5.png)
Préciser l'équation des tangentes aux points d'abscisses
![$-2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/6.png)
![$2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3/7.png)
Correction
Soit la fonction
définie sur
par
l'expression
.
avec
soit
On a donc,
,
soit
Le trinôme du numérateur a pour discriminant:
, et admet donc deux racines
et
.
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$}
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\begin{array}{ll}
\bullet\
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/12.png)
L'équation de la tangente au point d'abscisse
est
![\[T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/14.png)
Au point d'abscisse
, on a (déjà ans le tableau de variation)
et
, d'où l'équation de la tangente horizontale
![\[T_{-2}: y=-1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/18.png)
Au point d'abscisse
, on calcule
et
d'où l'équation de la tangente
![\[T_2: y=\dfrac{17}{81}(x-2)+\dfrac79=\dfrac{17}{81}x+\dfrac{29}{81}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/22.png)
Cacher la correction
Soit la fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/1.png)
![$\R\setminus\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -\dfrac14\ra$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/2.png)
![$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/3.png)
![$f=\dfrac{u}{v}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/4.png)
![$\la\begin{array}{ll}
u(x)&=x^2+3 \\
v(x)&=4x+1
\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/5.png)
![$\la\begin{array}{ll}
u'(x)&=2x \\
v'(x)&=4
\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/6.png)
On a donc,
![$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/7.png)
![$f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2}
=\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2}
$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/8.png)
Le trinôme du numérateur a pour discriminant:
![$\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/9.png)
![$x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/10.png)
![$x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/11.png)
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$}
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\begin{array}{ll}
\bullet\
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/12.png)
L'équation de la tangente au point d'abscisse
![$a$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/13.png)
![\[T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/14.png)
Au point d'abscisse
![$-2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/15.png)
![$f'(-2)=0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/16.png)
![$f(-2)=-1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/17.png)
![\[T_{-2}: y=-1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/18.png)
Au point d'abscisse
![$2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/19.png)
![$f(2)=\dfrac{2^2+3}{4\tm2+1}=\dfrac79$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/20.png)
![$f'(2)=\dfrac{4\tm2^2+2\tm2-3}{(4\tm2+1)^2}=\dfrac{17}{81}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/21.png)
![\[T_2: y=\dfrac{17}{81}(x-2)+\dfrac79=\dfrac{17}{81}x+\dfrac{29}{81}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar3_c/22.png)
Cacher la correction
Tag:Fonctions et dérivées
Voir aussi: