Jeu dans une urne et 2nd degré

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Une urne contient $n$ boules: une boule rouge et $n-1$ boules blanches.
On tire successivement et avec remise deux boules dans l'urne.
  1. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité des événements suivants:
    • M: "Les deux boules sont de la même couleur"
    • N: "Les deux boules sont de couleurs différentes"
  2. On considère le jeu suivant: le joueur perd $n^2$ euros si M est réalisé et gagne $2n^2$ euros sinon.
    On appelle $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.
    1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    2. Démontrer que $E(X)=-n^2+6n-6$.
    3. Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il favorable au joueur ?
    4. Si on laisse le choix au joueur, quel nombre de boules blanches doit-il choisir ?



Correction

Correction


  1. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-2,-4.2)(5,2.6) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$R$} \rput(0.6,1.5){\small $\frac{1}{n}$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$R$} \rput(2.8,2.6){\small $\frac{1}{n}$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$B$} \rput(2.8,0.3){\small $\frac{n-1}{n}$} % \psline(0,0)(1.5,-2.5)\rput(1.75,-2.5){$B$} \rput(.6,-2){\small $\frac{n-1}{n}$} \psline(2,-2.5)(3.5,-1.75)\rput(3.75,-1.75){$R$} \rput(2.8,-1.5){\small $\frac{1}{n}$} \psline(2,-2.5)(3.5,-3.25)\rput(3.75,-3.25){$B$} \rput(2.8,-3.7){\small $\frac{n-1}{n}$} \end{pspicture}\]


    On a alors les probabilités:
    \[P(M)=\lp\dfrac1n\rp^2+\lp\dfrac{n-1}{n}\rp^2 =\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}\]

    et
    \[P(N)=2\tm\dfrac1n\tm\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\]

    1. La loi de probabilité de $X$ est
      \[\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Valeurs de $X$: $x_i$ & $-n^2$ & $2n^2$ \\\hline $P\left( X=x_i\rp$ & $\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}$ & $\dfrac{2(n-1)}{n^2}$ \\\hline \end{tabular}\]



    2. \[E(X) =-n^2\tm\dfrac{n^2-2n+2}{n^2}+2n^2\tm\dfrac{2(n-1)}{n^2} =-n^2+6n-6\]


    3. Le jeu est favorable au joueur lorsque $E(X)>0$.
      $E(X)$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=12>0$ et admet deux racines $n_1=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{-2}=3+\sqrt3\simeq4,7$ et $n_2=\dfrac{-6+\sqrt{12}}{-2}=3-\sqrt3\simeq 1,3$.
      On a alors $E(X)>0\iff n\in]n_1;n_2[$, soit pour $n=2$, $n=3$ ou $n=4$, donc pour 1, 2 ou 3 boules blanches.
    4. $E(x)$ est un trinôme du second degré dont le maximum est atteint en $n=\dfrac{-b}{2a}=3$, pour lequel $E(X)=3$.
      Le joueur a donc tout intérêt a choisir que l'urne contienne 2 boules blanches, pour un gain moyen maximal de 3 euros.


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