Inéquation trigonométrique avec un cosinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

En s'aidant du cercle trigonométrique, résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l'inéquation: $\cos(x)\geqslant\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Correction

On connaît la valeur remarquable du cosinus: $\cos\dfrac\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$ , et donc aussi par symétrie (et/ou formule trigonométrique) $\sin\lp-\dfrac\pi4\rp=\dfrac{\pi}4$ .
À l'aide du cercle trigonométrique, on trouve alors les solutions de l'inéquation:

$\cos(x)\geqslant\dfrac{\sqrt2}{2} \iff x\in\lb-\dfrac\pi4;\dfrac\pi4\rb$

$\psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \pscircle(0,0){1} \psline(-1.1,0)(1.1,0) \psline(0,-1.1)(0,1.1) \psline[linestyle=dashed](.707,-.707)(.707,.707) \rput(0.6,-.2){$\frac{\sqrt2}{2}$} \psarc[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0){1}{-45}{45} \psline(0,0)(1,-1)\rput(1.4,.5){$\dfrac\pi4$} \psarc[arrowsize=7pt]{<-}(0,0){1.3}{-45}{-1} \psline(0,0)(1,1)\rput(1.4,-.5){$-\dfrac\pi4$} \psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0){1.3}{1}{45} \end{pspicture}$