Egalité de sinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Résoudre l'équation suivante dans ${\rm I\kern-.1567em R}$ : $\displaystyle \sin \left(2x-\frac{\pi}{3} \right) = \sin \left(3x+\frac{\pi}{2} \right)$ .

Correction

$\sin a = \sin b$ équivaut à :

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &= b + 2k\pi, \quad k \in {\sf Z\kern-... ... a &= \pi - b + 2k\pi, \quad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z} \end{aligned} \right.$

soit ici,

$\displaystyle \left\{\begin{aligned} 2x-\frac{\pi}{3} &= 3x+\frac{\pi}{2}+2k\pi... ...x-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z} \end{aligned}\right.$

On obtient donc les deux solutions :

$\displaystyle \left\{\begin{aligned} x& = -\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+2k\pi\qq... ...+\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z} \end{aligned}\right.$

soit encore :

$\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\qquad k \in {\sf ... ...c{\pi}{6}+2k\frac{\pi}{5}\qquad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z} \end{aligned}\right.$

ce qui donne l'ensemble des solutions.

Tag:Trigonométrie

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