Géométrie analytique en trigo

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ et l'on note $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique.

Soit le point sur $\mathcal{C}$ tel que $(\vec{\imath}, \overrightarrow{OM})=\alpha$ rad avec $\cos \alpha =\dfrac{3}{5}$ et $\alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right]$ .

Faire la construction.
Déterminer les coordonnées de dans $(O,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ .
Vérifier que appartient à la droite $\mathcal{D}$ d'équation .

Correction

$\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \pscircle(0,0){2} \rput(-0.2,-0.2){$O$} ... ...2,0)(1.2,-1.6)\rput(1.2,0.3){$\frac{3}{5}$} \rput(1.2,-2){$M$} \end{pspicture}$
Les coordonnées de dans le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ sont $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ .
Or, $\cos \alpha=\dfrac{3}{5}$ et comme $\alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right]$ , on en déduit $\sin \alpha <0$ .
Par ailleurs

$\begin{equation*} \begin{aligned} \cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha=1 \quad \text{don... ...} \\ \text{d'o\\lq u}& \quad \sin \alpha=-\frac{4}{5} \end{aligned}\end{equation*}$

Les coordonnées de sont donc $\left( \dfrac{3}{5}, -\dfrac{4}{5} \right)$ .
On vérifie que $4x_M+3y_M=4 \times \dfrac{3}{5}+3 \times \left(-\dfrac{4}{5} \right)=0$ , ce qui prouve que $M \in \mathcal{D}$ .