Géométrie analytique en trigo

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On munit le plan d'un repère orthonormal direct $ (O,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ et l'on note $ \mathcal{C}$ le cercle trigonométrique.

Soit le point $ M$ sur $ \mathcal{C}$ tel que $ (\vec{\imath}, \overrightarrow{OM})=\alpha$ rad avec $ \cos \alpha =\dfrac{3}{5}$ et $ \alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right]$ .

  1. Faire la construction.
  2. Déterminer les coordonnées de $ M$ dans $ (O,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ .
  3. Vérifier que $ M$ appartient à la droite $ \mathcal{D}$ d'équation $ 4x+3y=0$ .



Correction

Correction


  1. \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \pscircle(0,0){2} \rput(-0.2,-0.2){$O$} ... ...2,0)(1.2,-1.6)\rput(1.2,0.3){$\frac{3}{5}$} \rput(1.2,-2){$M$} \end{pspicture}

  2. Les coordonnées de $ M$ dans le repère $ (O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ sont $ (\cos \alpha, \sin \alpha)$ .

    Or, $ \cos \alpha=\dfrac{3}{5}$ et comme $ \alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right]$ , on en déduit $ \sin \alpha <0$ .

    Par ailleurs

    \begin{equation*} \begin{aligned} \cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha=1 \quad \text{don... ...} \\ \text{d'o\\lq u}& \quad \sin \alpha=-\frac{4}{5} \end{aligned}\end{equation*}

    Les coordonnées de $ M$ sont donc $ \left( \dfrac{3}{5}, -\dfrac{4}{5} \right)$ .
  3. On vérifie que $ 4x_M+3y_M=4 \times \dfrac{3}{5}+3 \times \left(-\dfrac{4}{5} \right)=0$ , ce qui prouve que $ M \in \mathcal{D}$ .


Tag:Trigonométrie

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